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kartal06

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Démonstration de la continuité d'une fonction vectorielle

Bonjour,

Soit une fonction f de R dans R^m.

J'aimerais démontrer la proposition suivante à l'aide de la définition de limite avec epsilon :

la fonction f est continue ssi chacune de ses composantes l'est.

Merci

Fred

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Re : Démonstration de la continuité d'une fonction vectorielle

Bonjour,

  Nous voulons bien t'aider à démontrer cette proposition. Où bloques-tu dans la preuve?

F.

kartal06

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Re : Démonstration de la continuité d'une fonction vectorielle

A vrai dire, c'est un enoncé d'exercice et je ne sais simplement pas par où commencer...

Fred

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Re : Démonstration de la continuité d'une fonction vectorielle

Bonjour,

  Tu commences par supposer que $f$ est continue, et tu dois démontrer que $f_i$ est continue pour $i=1,\dots,m$.
Tu fixes $\epsilon>0$ et $x_0\in \mathbb R$, et tu veux trouver $\eta>0$ tel que $|x-x_0|<\eta\implies |f_i(x)-f_i(x_0)|<\epsilon$.

Pour cela, deux ingrédients :
* utiliser la continuité de $f$ en $x_0$
* comment comparer $|f_i(x)-f_i(x_0)|$ et $\|f(x)-f(x_0)\|$????

F.

kartal06

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Re : Démonstration de la continuité d'une fonction vectorielle

Et bien, je sais que || x -y || >= | x1 - y1 | impliquerait que || f(x) - f(x0) || >= | fi(x) - fi(x0) | mais que faire de ce résultat ?

kartal06

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Re : Démonstration de la continuité d'une fonction vectorielle

J'ai du mal a comprendre le cheminement concret de la démonstration...

Fred

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Re : Démonstration de la continuité d'une fonction vectorielle

Le cheminement je l'ai donné. Écris la continuité de f en x0 avec des epsilon et utilise l'inégalité que tu as donné dans ton post.

F

kartal06

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Re : Démonstration de la continuité d'une fonction vectorielle

lien de l'image : https://ibb.co/zfmPW7H

J’ai tenté une démonstration, y aurait il une erreur quelque part ?

Dernière modification par kartal06 (03-08-2022 17:44:29)

Fred

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Re : Démonstration de la continuité d'une fonction vectorielle

Non, pas d'erreurs.

F.