Les Affinités Géométriques, simples rappels et extensions

Bernard-maths · 28-07-2022 07:27:45

Bonjour à tous !

Comme nous avons eu des discussions sur la transformation d'un cercle en ellipse, je vais ici vous rappeler / apprendre simplement, ce qu'on appelle affinité géométrique, d'abord dans le plan, puis quelques extensions dans l'espace.

A - Commençons dans le plan :

1°) Définition : Etant données deux droites sécantes du plan (OI) et (OJ), on appelle affinité (affine) d’axe (OI), de direction (OJ), et de rapport k, réel, la transformation du plan qui à tout point M fait correspondre le point M’ tel que : si H est l’intersection de (OI) avec la parallèle à (OJ) menée par M, alors Vecteur(HM') = k Vecteur(HM).

Remarquons : Si H est la projection de M sur (OI) parallèlement à (OJ), alors M’ est l’image de M par l’homothétie de centre H et rapport k.
On peut constater que les points de l’axe de base (OI) sont invariants (pour k = 0), et que les points de la direction (OJ) ont leurs images sur (OJ) par l’homothétie (O, k). Donc la restriction de l’affinité à son axe de base (OI) est l’identité de (OI) : Id(OI) ; la restriction à son axe de direction (OJ) est l’homothétie de centre O et rapport k.

2°) Expression analytique :
On suppose connues les coordonnées des points O, I et J dans un repère orthonormé du plan ... repère qui n'a rien à voir avec (O, I, J) !

3°) Cas pratique courant : affinité orthogonale d’un repère orthonormé.
(O, i, j) ou (O, I, J) est un repère orthonormé du plan. L’affinité a (x’x) pour axe, (y’y) pour direction, k réel pour rapport.

4°) Exemple d’axes en biais à ±45° :

5°) Exemple d’image d’un cercle :

Par contre je n'ai pas cherché l'équation "directement" encore, donc vous avez un exo à chercher !!!

Pour le plan, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (28-07-2022 10:10:14)

Bernard-maths · 28-07-2022 12:55:02

Bonjour à tous ! Tous les bricoleurs habituels, ou autres ?

Avez-vous des questions ? Des idées à émettre ? Des exercices à chercher / proposer ? ...

Outre l'exo 1 d'équation directe de l'ellipse ci-dessus, voici un exo 2 : que penser de la composition de 2 affinités de rapport k, en échangeant les rôles des 2 axes ?

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (28-07-2022 12:55:31)

Zebulor · 28-07-2022 17:51:18

Hello !
j'ai une équation : $3^2x^2+4^2y^2=324=18^2$.. ça serait pas celle de ta parabole en bleu dans le repère (i,j) ?

Dernière modification par Zebulor (28-07-2022 17:54:10)

Bernard-maths · 28-07-2022 17:52:26

Bonsoir à Zebulor !

Une équation telle que eqZ: 9x² + 16y² = 324 donne la courbe rouge, et non la bleue ... qui est une ellipse.

Les dimensions sont bonnes. Y'a plus qu'à tourner de 45° ...

Cordialement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (28-07-2022 17:57:48)

Zebulor · 28-07-2022 17:55:07

Bonsoir Bernard,
J'ai bien précisé dans le repère (i,j)..obtenu à partir de l'équation :$25x^2+14xy+25y^2=648$ moyennant des changements de variable

Dernière modification par Zebulor (28-07-2022 17:57:53)

Bernard-maths · 28-07-2022 18:00:29

Hello l

Trop facile, mais juste alors ! On reste dans le repère quadrillé de GeoGebra, faut la tourner !!!

Et du coup, c'est bien 25 x² + 14 xy + 25 y² =648, qui est la bonne ...

Dernière modification par Bernard-maths (28-07-2022 18:04:07)

Zebulor · 28-07-2022 18:38:56

Re,

Bernard-maths a écrit :

25 x² + 14 xy + 25 y² =648,

dont le discriminant (ce que je viens d'apprendre) est $25*25-14^2/4$ (plus généralement $ac-b^2/4$) est positif, signifiant que c'est bien l'équation d'une ellipse..

Dernière modification par Zebulor (28-07-2022 18:40:24)

Bernard-maths · 28-07-2022 20:00:56

Hello Zebulor !

Si je propose des exos, c'est pour se distraire, et voir les différentes méthodes utilisables ! Je ne connais point ce discriminant, d'où le tiens-tu ?

Perso, j'y suis allé en me basant sur l'équation : x²/a² + y²/b² = 1, correspondant aux droites y=0 et x=0. Mais à 45° les droites sont x+y=0 et x-y=0, pour respectivement b=6 et a=4.5; De plus en biais à 45°, il faut prendre (x+y)/Rac(2) et (x-y)/Rac(2) pour normer ... d'où l' équation :

(x+y)²/Rac(2)²/b² + (x-y)²/Rac(2)²/b² = 1, soit : (x+y)²/(2b²) + (x-y)²/(2a²) = 1 ... a²(x+y)² + b²(x-y)² = 2 a² b².

Et finalement : 36 (x+y)² + 20.25 (x-y)² = 40.5 * 36 ! Après "simplification" : 16 (x+y)² + 9 (x-y)² = 18 * 36, en développant :

25 x² + 14 xy + 25 y² = 648. C'est pareil !!!

Merci pour ton intervention, bonne nuit,

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (28-07-2022 20:03:51)

Zebulor · 29-07-2022 08:21:43

Salut Bernard !

Bernard-maths a écrit :

Je ne connais point ce discriminant, d'où le tiens-tu ?

https://www.imo.universite-paris-saclay … lipses.pdf

Bernard-maths · 29-07-2022 09:07:54

Salut Zebulor !

Merci ! Je me doutais qu'il devait y avoir du quadratique là derrière ...

Mais cela n'empêche pas de s'y mettre à l'huile de coude :-)

En cadeau : des ellipses consécutives déduites par similitudes tournantes de 45° à chaque fois.

On part du cercle bleu, à l'ellipse verte, à l'orange, à la mauve, la bleue, la violette ...

@ +, B-

Dernière modification par Bernard-maths (29-07-2022 09:08:12)

Zebulor · 29-07-2022 16:42:21

re,
cette discussion me fait penser à un post de bridgslam qui n'avait pas eu de réponse :

https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=14546

Bernard-maths · 29-07-2022 16:52:52

Bonsoir Z !

J'ai du mal à comprendre la question : vocabulaire lointain pour moi ...

S'agit-il de savoir si 2 courbes "gentilles" du plan possèdent toujours une tangente commune ???

Merci de préciser, de donner un exemple si possible !

B-m

Zebulor · 29-07-2022 16:58:24

Bonsoir Bernard,
je ne sais plus.. j'essaie de me replonger dans le sujet. Petite digression mais mais tu peux continuer sur ta lancée du post #10..

je viens de trouver ceci sur ce site :

https://www.bibmath.net/formulaire/inde … oi=conique

A un endroit il est question de $tan(2\theta)$, c'est intéressant..

Dernière modification par Zebulor (29-07-2022 17:04:06)

Bernard-maths · 02-08-2022 09:48:20

Bonjour à tous !

@ Zebulor, je poursuis en 3D vec quelques exemples simples !

B – Dans l’espace.

1°) Exemple 1 : Asseyons-nous sur un ballon …

L’espace est à 3 dimensions … pour prolonger ce qu’il se passe dans le plan, nous prendrons non plus un axe et une direction, mais un plan pour base et une direction ! Les points du plan sont invariants, ceux de la direction « subissent une homothétie » … Par exemple, dans un repère orthonormé (O, I, J, K), nous prendrons le plan (xOy) pour « base » et l’axe (z’z) pour direction orthogonale.

rose translucide, la sphère de rayon r, transformée par l’affinité en une surface bleue …
En
2°) Exemple 2 : Ballon de rugby pour un drop ? …

Ici la "base" est l'axe (z'z) des points invariants, le plan (xOy) subissant l'homothétie de centre O.

3°) Exemple 3 : Dans les 3 directions, un ellipsoïde quelconque …

Surface(r k' cos(v) cos(u), r k'' cos(v) sin(u), r k sin(v), v, -180°, 180°, u, 0°, 180°)
Les paramètres k* : k agit en z, k’ en x et k’’ en y. MAIS ce n’est plus une affinité !

4°) La commande Surface de GeoGebra :

GeoGebra « ne comprend pas » les formules simples … Pour tracer ces ellipsoïdes, j’ai pu par contre utiliser la commande « Surface ». La syntaxe en est de la forme :

Surface( <Expression x>, <Expression y>, <Expression z>, <Variable 1>, <Valeur Début 1>, <Valeur Fin 1>,
<Variable 2>, <Valeur Début 2>, <Valeur Fin 2> )

Où <Expression x> est une fonction décrivant les variations de l’abscisse x, en fonction de 2 paramètres (Variable 1 et 2) disons v et u, v variant de v1 à v2 > v1, et u de u1 à u2 > u1. Idem pour Expression y, pour y, et Expression z pour z.

J’ai choisi le paramétrage (connu) de Mathcurve : x = a cos(v) cos(u), y = a cos(v) sin(u), z = c sin(v) …
En parcourant le Net, vous trouverez des références variées sur l’affinité et les quadriques … !
Ellipsoïde sur Mathcurve, Wikipedia, etc …

@ plus ! Bernard-maths

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