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Mikarnold

Invité

Vecteurs Gaussiens et Matrices

Bonjour à vous. J'ai récemment essayé de faire un exercice de probabilités. J'y arrivais pas. Mais j'ai essayé de regarder et comprendre la correction, mais j'y comprend rien parce qu'il y sont allés trop vite.

Soit (X, Y, Z) un vecteur gaussien de l'espérance (1, 0, 1) et de matrice de covariances

B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 6 & 2 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix}

(a) Donner la loi du vecteur \vec{U}= (X+Y, X+Z).

(b) Trouver une matrice A telle que les composantes du vecteur A\vec{U} soient indépendantes.

freddy

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Re : Vecteurs Gaussiens et Matrices

Salut,

conformément à al tradition du site, je vais t'aider et et laisser finir.

Tu formes un nouveau vecteur gaussien (car somme de va gaussiennes) U=(X+Y,Y+Z)

Donc on aura comme espérance [tex]E(U)=(E(X+Y),E(Y+Z))=(1,1)[/tex] évident ...

et comme matrice de variance covariance une matrice carrée symétrique  [tex]2\times 2[/tex] notée M telle que

[tex]M(1,1)=var (X+Y) = var(X)+var(Y)+2\times Cov(X,Y)[/tex]

[tex]M(2,2)=Var(Y+Z)[/tex] et [tex]M(2,1)=M(1,2)=Cov(X+Y,Y+Z)[/tex].

Après développements, tous les éléments sont dans la matrice B ! OK ?

PS = vous venez d'où, tous les gars qui nous questionnent sur les vecteurs gaussiens ?

Dernière modification par freddy (12-07-2012 20:51:33)

freddy

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Re : Vecteurs Gaussiens et Matrices

Re,

pour la seconde question, la question implicite est de trouver une combinaison linéaire des éléments de U tq les deux variables aléatoires construites soient indépendantes => la matrice associée de variance covariance soit diagonale !

Reviens quand tu veux avec les solutions, on te dira si c'est bon.

Dernière modification par freddy (12-07-2012 13:46:51)

Mikarnold

Invité

Re : Vecteurs Gaussiens et Matrices

Okay. Je pars me mettre au travail. Merci encore et je revendrai avec mes réponses.

Mikarnold

Invité

Re : Vecteurs Gaussiens et Matrices

Ya un truc que je pige pas. Pourquoi M (2,1)= M (1,2). C'est comme ça tout le temps ou c'est seulement dans ce cas ?
Merci

freddy

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Re : Vecteurs Gaussiens et Matrices

Re,

c'est toujours comme ça, car [tex]Cov(x,y)=Cov(y,x)[/tex] !

Mikarnold

Invité

Re : Vecteurs Gaussiens et Matrices

ENcore une chose. Indiquez moi comment mettre le lien d'une image que l'on prend avec Capture d'écran comme ça les choses seront plus facilitées (les posts). Merci encore

Mikarnold

Invité

Re : Vecteurs Gaussiens et Matrices

Au fait l'autre vecteur c'est (X+Z) et non (Y+Z). Ce qui fait que E (U) = (1,2) au lieu de (1,1).
Merci

Mikarnold

Invité

Re : Vecteurs Gaussiens et Matrices

Encore une chose STP. Explique moi comment on forme la matrice de la somme de deux ou plusieurs vecteurs gaussiens parce que je n'arrive pas à comprendre. Merci.

Mikarnold

Invité

Re : Vecteurs Gaussiens et Matrices

Concernant les éléments de la matrice, je pense que c'est plutôt si on suit ton raisonnement M (2,2) = Var (X+Z)
et M (1,2) = M (2,1) = cov (X+Y, X+Z).
Merci

Mikarnold

Invité

Re : Vecteurs Gaussiens et Matrices

Bonjour.
Voici ce que donne mon travail:
D'abord E(U) = (1,2).
Ensuite on détermine la matrice de covariance relative à U. Notons la M.
Ainsi M (1,1) = Var (X+Y)= Var (X) + Var (Y) + 2 cov (X,Y) = 1 + 6 + 2 (-1) = 5
M (2,2) = Var (X+Z) = Var (X) + Var (Z) + 2 cov (X,Z) = 1 + 1 + 0 = 2
M(1,2) = M (2,1) = cov(X+Y, X+Z) = E((X+Y)(X+Z)) - E(X+Y)E(X+Z)= 2 (tout calcul fait)
donc la matrice est formé des vecteurs en colonnes (5,2) , (2,2).
Ensuite Il faut trouver la matrice A telle que M soit diagonale.
Ainsi on détermine le polynome caractéristique de M et on trouve comme valeurs propres : 1 et 6.
Ensuit les vecteurs propres de normes 1 nous donne d'abord (1/racine de 5, -2/racine de 5) et (2/racine de 5, 1/racine de 5).
Ainsi, la matrice de passage P est formée de ces deux vecteurs (en colonne) et la matrice diagonale est la matrice diagonale avec les valeurs 1 et 6 sur la diagonale.
et comme P est orthogonale, on en déduit que P^(-1) = Transposée de P = A = [en colonne] (1/racine de 5, 2/racine de 5), (-2/racine de 5, 1/racine de 5)
Excusez moi, je ne maîtrise pas bien le code Latex.
Appréciez. Merci

freddy

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Re : Vecteurs Gaussiens et Matrices

D'abord E(U) = (1,2). OK

[tex]M (1,1) = Var (X+Y)= Var (X) + Var (Y) + 2 cov (X,Y) = 1 + 6 + 2 (-1) = 5[/tex]

[tex]M (2,2) = Var (X+Z) = Var (X) + Var (Z) + 2 cov (X,Z) = 1 + 1 + 0 = 2[/tex]

[tex]M(1,2) = M (2,1) = cov(X+Y, X+Z) = E((X+Y)\times (X+Z)) - E(X+Y)\times E(X+Z)[/tex]
[tex]= var(X) + cov(X,Z)+cov(X,Y)+cov(Y,Z)=2[/tex]

la matrice M est donc égale à  : \begin{pmatrix}5 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} OUI

Ensuite Il faut trouver la matrice A telle que M soit diagonale. OK

Ainsi on détermine le polynôme caractéristique de M et on trouve comme valeurs propres : 1 et 6.
Ensuit les vecteurs propres de normes 1 nous donne d'abord ([tex]\frac{1}{\sqrt{5}},\, -\frac{2}{\sqrt{5}}[/tex]) et ([tex]\frac{2}{\sqrt{5}},\, \frac{1}{\sqrt{5}}[/tex]).
Ainsi, la matrice de passage P est formée de ces deux vecteurs (en colonne) et la matrice diagonale est la matrice diagonale avec les valeurs 1 et 6 sur la diagonale.

et comme P est orthogonale, on en déduit que P^(-1) = Transposée de P = A de la forme

[tex]A = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ -\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}[/tex]

Probable, je n'ai pas encore fait les calculs.

PS : c'est marrant, de mon temps, il était formellement interdit de laisser des dénominateurs irrationnels !

Dernière modification par freddy (14-07-2012 07:15:13)

freddy

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Re : Vecteurs Gaussiens et Matrices

Salut,

sans les normaliser, les deux vecteurs propres que je trouve sont (2,1) et (-1,2), les valeurs propres sont OK.

Dernière modification par freddy (14-07-2012 10:58:30)

Mikarnold

Invité

Re : Vecteurs Gaussiens et Matrices

Ok. C'est cool Freddy. Merci encore.

Mota

Invité

Re : Vecteurs Gaussiens et Matrices

Bonjour,besoin d'aide comment montrer que la somme des Xi suivant chacune une loi exponentielle suit une loi Gama

yoshi

Modo Ferox

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Re : Vecteurs Gaussiens et Matrices

Bonjour,

@Mota
Tiré du dictionnaire Larousse .
Répondre : Fournir la ou les réponses demandées : Répondre à un questionnaire.

Alors, as-tu répondu à la question de Mikarnold, posée en... 2012 ???

NON ! Donc sujet fermé...

       Yoshi
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