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Bolhcmed

Invité

Montrer su'une fonction est de classe C infini

Bonsoir,

Dans une série d'exos , il est demandé dans un exercice de montrer qu'une fonction est de classe C infini , quel est le procédé que je dois suivre pour montrer que cette fonction est de classe C infini.

Bonne journée.

Bolhcmed

Invité

Re : Montrer su'une fonction est de classe C infini

La fonction c'est f(x) = exp(1/(x^2 - 1)) si lxl<1 .
                                          0 si lxl>=1.

Fred

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Messages : 7 352

Re : Montrer su'une fonction est de classe C infini

Bonjour,

  Ta fonction est clairement de classe $C^\infty$ sur $\mathbb R\backslash\{-1,1\}$, il suffit par parité de prouver qu'elle est $C^\infty$ au voisinage de $1$. Commençons par la dérivabilité. Pour démontrer que $f$ est dérivable en $1$, tu peux étudier la limite du taux d'accroissement $\frac{f(1+h)-f(1)}h$ lorsque $h$ tend vers $0$. Pour vérifier que la dérivée est continue en $1$, tu peux calculer la valeur de la dérivée ailleurs qu'en 1 et vérifier qu'elle admet une limite.

Pour aller jusque $C^\infty$, c'est plus compliquée, car tu vas avoir besoin de procéder par récurrence, et d'avoir une "forme" pour la dérivée $n$-ième de $f$ (impossible d'en avoir l'expression exacte). Un exercice très proche est traitée ici.

F.