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#1 26-07-2022 13:46:42
- NicoLeProf
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- Messages : 5
Aide Agrégation interne, sujet d'algèbre de 1990 !
Bonjour à vous,
j'ai besoin d'aide sur une question du sujet d'agrégation interne d'algèbre de 1990 :
[tex]E[/tex] désigne un [tex]R[/tex]-espace vectoriel de dimension finie non nulle [tex]n[/tex] et [tex]u[/tex] un endomorphisme de [tex]E[/tex] tel que [tex]tr(u^p)=0[/tex] pour tout entier [tex]p \in N^*[/tex] .
La question est : "prouver que [tex]u[/tex] n'est pas surjectif (on pourra utiliser le théorème de Cayley-Hamilton)".
Le problème est que je ne vois pas du tout en quoi le théorème de Cayley-Hamilton (qui dit que le polynôme caractéristique de [tex]u[/tex] est annulateur de [tex]u[/tex]) va m'aider à prouver la non-surjectivité de [tex]u[/tex].
Je peux seulement dire que : comme [tex]tr(u)=0[/tex], le coefficient devant [tex]X^{n-1}[/tex] du polynôme caractéristique de [tex]u[/tex] vaut [tex]0[/tex] . De même pour les polynômes caractéristiques de [tex]u^2, u^3[/tex] etc.
Donc je suis bloqué et je vous remercie pour votre aide !!!
Bonne journée à vous !
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#2 26-07-2022 23:45:25
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Aide Agrégation interne, sujet d'algèbre de 1990 !
Bonjour
Si on note P le polynôme caractéristique de u, alors P(u)=0. On applique la trace à cette égalité. A droite on a bien sûr 0 et à gauche le seul terme qui reste est celui égal à $tr(a_0 I_n)$ où $a_0$ est le coefficient constant du polynôme caractéristique. Or ce coefficient constant on sait l'exprimer en fonction du déterminant de u.....
Un peu bizarre cette question car en réalité on peut prouver que u est l'endomorphisme nul.
F.
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#3 27-07-2022 12:30:04
- NicoLeProf
- Membre
- Inscription : 26-07-2022
- Messages : 5
Re : Aide Agrégation interne, sujet d'algèbre de 1990 !
Bonjour,
merci beaucoup pour la réponse détaillée !!!
En effet, comme $a_0=det(u)$ on aura bien $det(u)=0$.
J'ai bien compris le raisonnement.
Par contre, $u$ ne sera pas forcément l'endomorphisme nul, il sera nilpotent. Le sujet demande de le démontrer deux questions plus loin d'ailleurs !
Encore merci pour ton aide précieuse !!!
Bonne journée !
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