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tacapa75

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nombres complexes

bonsoir à tous,
je n'arrive pas à résoudre cet exercice, y a t'il qqun qui peut m'aider SVP :
voici les données:
soient a,b et z trois complexes tels que : a different de b et lal = lbl =1
Montrer que :         _
                     z+ab z-(a+b)     
                    --------------- est imaginaire pur.
                         a-b

JJ

Invité

Re : nombres complexes

Pour faciliter l'écriture, la convention sera :
A = conjugé de a . Donc  A*a = 1
B = conjugé de b . Donc B*b = 1
Z = conjugé de z
s = (z+abZ-a-b)/(a-b)
S = (Z+ABz-A-B)/(A-B)
S+s = [(z+abZ-a-b)*(A-B)+(Z+ABz-A-B)*(a-b)]/[(a-b)*(A-B)]
Etudions  R=[(z+abZ-a-b)*(A-B)+(Z+ABz-A-B)*(a-b)]
R = [(A-B+AB(a-b)]*z + [(a-b+ab(A-B)]*Z - [(a+b)*(A-B) + (A+B)*(a-b)]
A-B+AB(a-b) = A-B+(aA)B-(bB)A = A-B+B-A = 0
a-b+ab(A-B) = a-b+(aA)b-(bB)a = a-b+b-a = 0
(a+b)*(A-B) + (A+B)*(a-b) = 2aA-2bB = 0
Donc R=0 et par conséquent (S+s)=0
(S+s)= 2*(partie réelle de s) =0. La partie réelle de s est nulle.
Donc s = (z+abZ-a-b)/(a-b) est imaginaire pur.

tacapa75

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Re : nombres complexes

merci JJ, mais je te fais remarquer que s= (z+aBz-a-b)/(a-b)
                                     et non pas s=(z+abZ-a-b)/(a-b)

        donc ce n'est plus le même cas ...

john

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Re : nombres complexes

Hello,
effectivement ce n'est plus le même cas... à tel point que c'est faux en général. Il suffit de remarquer que (a+b)/(a-b) est imaginaire et ce qui reste ne peut pas être imaginaire quel que soit z.
Sauf erreur évidemment
A+

PS : Quand on a donné une réponse, c'est tjs très agréable de constater que l'énoncé est ensuite modifié.

Dernière modification par john (05-03-2007 13:05:06)

yoshi

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Re : nombres complexes

Bonjour,

JJ s'est fendu d'une réponse, tacapa75, tu aurais pu éviter de le renvoyer, sèchement, "dans les cordes", même si tu as commencé par merci... De plus, ce n'est pas de sa faute si l'affichage de ton énoncé l'a induit en erreur : j'avais noté ton exercice hier soir pour y répondre aujourd'hui et moi aussi j'avais lu Z...

Pour information (je sais, c'est pénible à utiliser au début) il existe un langage spécifique nommé Latex : http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX
qui élimine toute confusion possible dans l'écriture...

@+

[EDIT]
Voilà ce que ça aurait donné:
[tex]\frac{z+a\bar bz-(a+b)}{a-b}[/tex]

Avec la syntaxe suivante, encadrée par les balises tex et /tex entre crochets :
\frac{z+a\bar bz-(a+b)}{a-b}

Dernière modification par yoshi (05-03-2007 15:58:52)

tacapa75

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Re : nombres complexes

yoshi,
tu as bien fait de me livrer le lien de wikipedia que je viens de visiter,comme ça je ne tomberai plus ds la confusion.
Un grand Merci à toi,à jj et à john pour votre aide.

yoshi

Modo Ferox

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Re : nombres complexes

Bonjour,

Je me suis acharné sur ton exercice pour essayer de voir si c'était faux ou pas... sans résultats !
Et l'idée m'est venue de montrer que john, une fois de plus, avait raison, en utilisant un contre-exemple...
D'abord, je transforme ton écriture.

Puisque |b|=1, alors
[tex]b\bar b=1[/tex]

Donc :
[tex]\frac{z+a\bar bz-(a+b)}{a-b}=\frac{{bz \over b}+{az \over b}-{b(a+b)\over b}}{a-b}=\frac{bz+az-b(a+b)}{b(a-b)}[/tex]
et
[tex]\frac{z+a\bar bz-(a+b)}{a-b}=\frac{(z -b)(a+b)}{b(a-b)}=\frac{z-b}{b}\;\times\;\frac{a+b}{a-b}[/tex]
La deuxième fraction étant effectivement un imaginaire pur, pour que le produit soit un imaginaire pur, il faut que la première soit un réel pur...
Et iil n'y a aucune raison pour que :
[tex]\frac{z-b}{b}={z \over b}-1[/tex]
soit un réel pur, donc que z/b soit toujours un réel pur
Si je prends :
[tex]z=3+2i \text{ et }b={sqrt 3 \over 2} +i{1 \over 2}[/tex]
il est facile de voir que z/b n'est pas un réel...

Quel est donc l'énoncé exact ? Ca m'intéresse...

@+

john

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Re : nombres complexes

Bonjour yoshi,
tu m'as fait une vraie frayeur... car en lisant le début de ton message... j'ai bien cru qu'une fois de plus je m'étais planté.
A+

PS l'énoncé exact est celui auquel JJ à répondu. Erreur du bouquin, du prof, du recopieur... peu importe !

Histoire de s'amuser un peu, je te propse la démo. suivante, qui me gêne beaucoup car je suis "infoutu" de dire si elle est valable ou non...)
Le terme indépendant de z étant imaginaire pur, il reste à montrer que (z + abZ)/(a-b) est imaginaire pur (*1).
Si c'est vrai quel que soit z, alors c'est vrai aussi pour Z soit (Z + abz)/(a-b) imaginaire pur (*2).
En faisant la somme (*1) + (*2) on obtient (z + Z)(1+ab)/(a-b).
Comme (z + Z) est réel, il reste à vérifier que (1+ab)/(a-b) est bien imaginaire pur. Or c'est le cas.
Hum Hum... Ôte-moi d'un doute Ô grand yoshi.
A+

Dernière modification par john (09-03-2007 14:57:06)

yoshi

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Re : nombres complexes

Bonjour,

Tu ne m'auras pas par la flatterie ô Maître John : Je me souviens de Jean de La Fontaine...

Bon, j'ai un petit qqch pour toi.
Je choisis :
[tex]a=e^{i{\pi \over 6}}\text{ et }b=e^{i{\pi \over 3}}[/tex]
J'ai donc ab =i
je prends
z = x + i y
D'où
[tex]z+ab\bar z=(x+y)+i(x+y)[/tex]
Mais et c'est là que, selon moi, ça se gâte :
[tex]\bar z+abz=(x-y)+i(x-y)[/tex]
D'accord ?
Mais si je prends x = y, (x+y)+i(x+y) n'est pas réel, mais (x-y)+i(x-y) si, puisque nul...
Or, tu as écrit :
Si c'est vrai quel que soit z, alors c'est vrai aussi pour Z soit (Z + abz)/(a-b) imaginaire pur (*2).
Certes, je ne suis pas parti de z imaginaire pur, mais cette restriction ne fait pas partie de l'énoncé...

Il me semble bien (j'espère ne pas être allé trop vite en besogne) que c'est un contre-exemple qui met à mal ton affirmation, non ?

J'attends ta réponse avec impatience, parce que, pour un exercice 'tordu", c'est un bel exercice "tordu" et en tant que tel, il a su piquer ma curiosité !

@+

john

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Re : nombres complexes

Hello yoshi,
Merci pour l'intérêt que tu portes à cette question.
Concernant ta réponse, je suis d'accord jusqu'à "d'accord ?".

Ensuite, (si mes souvenirs sont exacts... et rien n'est moins sûr) dans C, il me semble que 0 (zéro) n'est pas réel mais a un module nul et tous les arguments possibles.

Plutôt que faire x=y, il vaudrait mieux faire x -> y, ce qui a l'avantage de préciser l'argument de (x-y) + i.(x-y).
On constate alors que (Z + abz)/(a-b) et (z + abZ)/(a-b) restent imaginaires purs.

Ta remarque me conduit quand-même à modifier ma démo. comme suit :
je remplace :
"Le terme indépendant de z étant imaginaire pur, il reste à montrer que (z + abZ)/(a-b) est imaginaire pur (*1)."
par :
"Le terme indépendant de z étant imaginaire pur, il reste à montrer que (z + abZ)/(a-b) est imaginaire pur ou nul (*1).

Mais le doute m'habite tjs concernant la validité du raisonnement.
A+

yoshi

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Re : nombres complexes

Bonjour John,

Je vais regarder de plus près...
Je n'ai cependant pas pas écrit que 0 était un complexe, mais un réel....
J'ai seulement trouvé un cas particulier où
[tex]z+ab\bar z\;\text{ et }\;\bar z+abz[/tex]
ne sont pas de même natures : ni l'un ni l'autre, imaginaires purs.
Pire, le premier est un complexe, le second un réel pur (puisque 0) quand je choisis z de la forme x+ix...

Ou alors, je n'ai rien compris à ta démo (ce qui est possible)

@+

john

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Re : nombres complexes

1/ J'ai bien lu dans #9... "(x-y) + i.(x-y) est réel puisque nul". Donc on parle bien du complexe nul et non du réel nul.

2/ Dans #11... (z + abZ) et (Z + abz) ne sont pas de même nature effectivement. Mais tous deux ont un argument de Pi/4 (au signe près) et comme le dénominateur a aussi un argument de Pi/4 (au signe près) on retrouve bien des imaginaires purs pour (Z + abz)/(a-b) et (z + abZ)/(a-b).
Pour préciser le problème : ce n'est pas dans le calcul que j'ai un doute quant à la validité de la démo., c'est dans la démarche. Et ce contre exemple ne la met pas KO à mon sens.
A+

john

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Re : nombres complexes

Hello yoshi,
je vois que tu es en ligne et j'en profite pour dire que la démonstration que j'ai proposée et toutes les démonstrations de ce type, ne tiennent pas la route. Pour que ça marche il faudrait considérer C comme un espace vectoriel sur R (qui n'est autre que R² sur R), avec a et b réels, z et Z étant dans C.
A+

yoshi

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Re : nombres complexes

bonjour,

pas bcp de temps cette semaine : gros coup de bourre jusqu'à vendredi...
OK pour ce post, mais je m'estime pas satisfait par les réponses apportées à mon objection.
J'y reviendrai

@+