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Gustav

Invité

Inversibilité d'un opérateur différentiel

Bonjour
Considérons le problème suivant : $$
\eqalign{
  & {u_{tt}} + {u_{xxtt}} + {u_t} - {u_{xx}} = 0  \cr
  & u(t,0) = u(t,l) = 0  \cr
  & u(0) = {u_{0{\rm{   }}}}u'(0) = {u_1} \cr}
$$ Je voudrais l’écrire sous la forme d'un problème de Cauchy $$U' = AU$$ avec : $U = ({v^1},{v^2})$ et $A$ définie par : $$
A = \begin{pmatrix}
   0 & I  \\[3pt]
   \Big(I + \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\Big)^{ - 1}\!\!\frac{\partial ^2}{\partial x^2} &  - \Big(I + \frac{\partial ^2}{\partial  x^2}\Big)^{ - 1}
\end{pmatrix}
$$.Ma question est : comment traiter le terme ${{{(I + {{{\partial ^2}} \over {\partial {x^2}}})}^{ - 1}}}$ ? et s'il n'y a des livres ou des articles qui parlent de ces trucs ? Merci.

aviateur

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Re : Inversibilité d'un opérateur différentiel

Bonjour
Formellement l'opérateur A est correct. Je pense qu'il faut continuer à écrire les choses: L'opérateur  I+D_xx   (définir son domaine). Ensuite préciser le domaine de A. Ensuite je ne sais pas ce que vous voulez faire, préciser un peu s-v-p.
En général dans ce genre de problème on veut montrer que le problème abstrait admet une solution ....   il faut donc définir les espaces  pour surement appliquer le th Lumer-P.