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Flavius_Belisarius

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Extension de Galois

Bonjour,

Je suis en train d'apprendre les extensions de Galois, mais j'ai beaucoup de difficultés à résoudre quelques problèmes. Par exemple, je dois faire ceci :

- Construire une extension de Galois k de K de sorte que Gal(K/k)=S_n, le groupe symétrique à n éléments.
- Construire une extension de Galois k de K de sorte que Gal(K/k)=A_n, le groupe alterné à n éléments.

Je n'ai vraiment aucune idée comment construire une telle extension dans une telle généralité.

Merci d'avance,
F.B.

Yassine

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Re : Extension de Galois

Bonsoir,
Je ne suis pas très fluent en théorie de Galois, mais l'idée est d'utiliser le fait que pour $H$ un sous-groupe fini de $Aut(L)$ où $L$ est un corps, si on note $L^H$ le sous-corps des éléments de $L$ fixes par l'actions des élément de $H$, alors l'extension $(L : L^H)$ est galoisienne et son groupe de Galois est $H$.

Ici, dans le premier exemple, $H \simeq S_n$, il faut donc construire le corps $k$ de manière à être fixé par l'action de $H$. Voir ici, page 14 et ici, page 6 pour des constructions.

Flavius_Belisarius

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Re : Extension de Galois

Merci beaucoup! Je vais lire ça.

F.B.

Yassine

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Re : Extension de Galois

Bonjour,
Tu peux également regarder cet article sur Wikipedia, paragraphe 3.

Dernière modification par Yassine (13-01-2017 15:32:48)