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LS

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Limites

Bonjour

J'ai la correction d'un exercice de maths mais je ne la comprend pas.
Pouriez vous me l'expliquer s'il vous plaît?

ENONCE.

Partie A.

1) Déterminer lim de n tend vers + infini de nsin(pi/2n).
2) En déduire lim de n tend vers + infini de (pi/n)[(cos(pi/2n))/(sin(pi/2n))].
3) Montrer que pour tout réel a : e^ia   - 1 = 2ie^(ia/2) sin (a/2).

Partie B.

Soit n €N*, on pose z = e^(i pi/n) et Sn = 1+z+z²+ …+z^(n-1).

1)Montrer que : Sn = -2/(e^(i pi/n)-1).
2) En déduire que : Sn = 1+i (cos (pi/2n))/(sin(pi/2n)).
3) On définit la somme : sn = sin(pi/n) + sin(2pi/n) + … + sin((n-1)pi/n).

Montrer que sn = (cos (pi/2n))/(sin(pi/2n)).

Partie C.

1) Expliquer brièvement l’égalité :

Lim de n tend vers +infini de (pi/n)sn = intégrale de 0 à pi sint dt puis déterminer la valeur de cette intégrale.

2) Déterminer : intégrale de –pi à pi sint dt  et intégrale de 3pi/2 à 5pi/2 |sint| dt.

CORRECTION.

Partie A.

1) lim n*sin(pi/2n) = pi/2
n->+oo

2) lim (pi/n)[(cos(pi/2n))/(sin(pi/2n))] = 2
n->+oo

3) 2ie^(ia/2) sin (a/2)
= [2icos(a/2)-2sin(a/2)]*sin(a/2)
= 2icos(a/2)*sin(a/2) - 2 sin²(a/2)
= i sin(a) - (1 - cos(a))
= cos(a) + i sin(a) - 1
= e^ia - 1

Partie B.

1) Sn=(1-z^n)/(1-z)= {1-[e^(iΠ/n)]^n}/[1-e^(iΠ/n)]= [1-e^(iΠ)]/[1-e^(iΠ/n)]=.........

2) Sn=-2/[e^(iΠ/n)-1]=2/[1-e^(iΠ/n)]

calcul de 1-e^(iΠ/n)= e^(iΠ/2n)[e^(-iΠ/2n)-e^(iΠ/2n)]= e^(iΠ/2n)[-2isin Π/2n]=.....

3)  z= cos Π/n + i sinΠ/n ==> 1+z+z²+...+z^(n-1) --> appliquer formule Moivre et montrer que sn est partie imaginaire de Sn.

Partie C.
1) intégrale de 0 à pi sint dt = 2

2) intégrale de –pi à pi sint dt = 0

intégrale de 3pi/2 à 5pi/2 |sint| dt
= intégrale de -pi/2 à pi/2 |sint| dt
= intégrale de -pi/2 à 0 -sint dt + intégrale de 0 à pi/2 sint dt
= [cost] de -pi/2 à 0 + [-cost] de 0 à pi/2
= 1 + 1
= 2.

Merci d'avance.

yoshi

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Re : Limites

Bonjour,

Réponse partielle. Pour la suite, on verra après...

Partie A
limite de n*sin(pi/2n) n--> +oo
On pose un changement de variable x = pi/2n d'où n = pi/2x
On en revient à chercher la limite de (pi/2x)*sin(x) avec x--> 0, soit la limite de (pi/2)* sin(x)/x avec x --> 0 soit  lim = (pi/2)*1 = pi/2

limite de (pi/n)*[(cos(pi/2n))/(sin(pi/2n))]
limite de (pi/n)*[(cos(pi/2n))/(sin(pi/2n))] = limite [pi*(cos(pi/2n)]*[1/[n*sin(pi/2n)]
Quand n -->+oo alors cos (pi/2n) --> cos(0) = 1. LImite 1er crochet = pi
et
limite 2e crochet = (1(/pi/2)= 2/pi
Limite globale = pi*2/pi = 2

e^ia   - 1 = 2ie^(ia/2) sin (a/2).
La démonstration ne me convient pas, j'ai été "dressé" pour ne pas partir de la fin :
e^ia   - 1 = cos(a) + i sin(a) -1 = cos(2*a/2) + i sin(2*a/2) - 1
cos(2*a/2) = 1 - 2sin²(a/2)  et     sin(2*a/2)= 2sin(a/2)*cos(a/2)
donc :
e^ia   - 1 = 1 - 2sin²(a/2) +i  2sin(a/2)*cos(a/2) - 1
=  -2sin²(a/2) +i  2sin(a/2)*cos(a/2)
=i²*2sin²(a/2) +i  2sin(a/2)*cos(a/2)
=2i*[isin²(a/2) +  sin(a/2)*cos(a/2)]
= 2isin(a/2)*[isin(a/2) + cos(a/2)]
=2i sin(a/2)*e^(ia/2)
= 2ie^(ia/2) sin (a/2).

@+

LS

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Re : Limites

Merci beaucoup pour vos explications.

Pour la Partie B, je ne comprend pas trop la dernière question.

Dernière modification par LS (22-02-2007 11:42:26)

yoshi

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Re : Limites

Re-Bonjour,

Partie B.
1. Sn = 1 + z² +z^3 +..........+z^(n-1) est la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison z
On peut donc écrire Sn = (1 - z^)/(1 - z) = [1 - (e^(i*pi/n))^n](1 - e^i*pi/n)
Soit encore Sn =(1 -e^i*pi]/[1 -e^(i*pi/n)]
Or, e^(i*pi)= cos pi +i sin pi = -1.
Donc Sn = 2/[1 - e^i(i*pi/n)] = -2/[e^i(i*pi/n) - 1]

2. Je passe à l'affichage Latex sinon, c'est "imbuvable"...
[tex]Sn=\frac {2}{1-e^{{i\pi \over n}}}=\frac {2}{e^{{i\pi \over 2n}}\times (e^{{-i\pi \over 2n}}-{e^{{i\pi \over 2n}})}[/tex]
C'est une mise en facteur simple pour pouvoir appliquer une des formules d'Euler après :
[tex]{e^{{i\pi \over 2n}}-e^{{-i\pi \over 2n}}\over 2i}= sin{\pi \over 2n}[/tex]
Là, les signes sont opposés et l'expression a été multipliée par 2... D'où :
[tex]Sn=\frac {2}{-i2e^{{i\pi \over 2n}}\times sin{\pi \over 2n}[/tex] et [tex]Sn=\frac {-1}{ie^{{i\pi \over 2n}}\times sin{\pi \over 2n}[/tex]
On passe l'exponentielle en haut en changeant le signe de l'exposant :
[tex]Sn=\frac{-e^{-i\pi \over 2n}}{isin{\pi \over 2n}}=\frac{-cos{-\pi \over 2n}-isin {-\pi \over 2n}}{isin {\pi\over 2n}}[/tex]
Or cos(-a) = cos a) et sin(-a) = -sin(a)
L'expression devient :
[tex]Sn=\frac{-cos{\pi \over 2n}+i sin{\pi \over 2n}}{isin {\pi\over 2n}}[/tex]
On remplace -1 par i² et coupe la fraction en deux :
[tex]Sn=\frac {i^2cos{\pi \over 2n}}{isin {\pi\over 2n}}+\frac {iSin{\pi \over 2n}}{isin {\pi\over 2n}}[/tex]
Et par simplification on arrive à :
[tex]Sn= 1+i\frac {cos{\pi \over 2n}}{sin {\pi\over 2n}}[/tex]

3) [tex]z=cos{\pi \over n}+iSin{\pi \over n}\; \mathrm{ d'o\acute u\; }Sn= 1+(cos{\pi \over n}+iSin{pi \over n})+(cos{\pi \over n}+iSin{pi \over n})^2+...+(cos{\pi \over n}+iSin{pi \over n})^{n-1}[/tex]
Formule de Moivre :
[tex](cosx + i sinx)^n = cos(nx) + isin(nx)[/tex]
Donc
[tex]Sn= 1+cos{\pi \over n}+cos {2\pi\over n}+.....+ Cos{{(n-1)}\pi \over n}+i(Sin{pi \over n}+Sin{2\pi \over n}+...+Sin{{(n-1)\pi \over n})[/tex]
Et là tu trouves la partie imaginaire :
[tex]sn = Sin{\pi \over n}+Sin{2\pi \over n}+...+Sin{{(n-1)\pi \over n}[/tex]
Or, a montré que :
[tex]Sn= 1+i\frac {cos{\pi \over 2n}}{sin {\pi\over 2n}}\mbox{ dont la partie imaginaire est }\frac {cos{\pi \over 2n}}{sin {\pi\over 2n}}[/tex]
CQFD

Les explications sont-elles claires et suffisantes ? Si non, faut pas hésiter...

Partie C plus tard...

@+

Dernière modification par yoshi (22-02-2007 16:18:58)

LS

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Re : Limites

Vos explications sont très claires.

Merci beaucoup.

yoshi

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Re : Limites

Bonjour,

Suite et (presque) fin...
Remplacer la limite par l'intégrale : là j'ai un "cas de cécité" caractérisé ça m'échappe. Ca va sûrement me revenir... Mais, dans quel délai ? mystère !
Donc
Partie C
[tex]\int_0^\pi Sin t dt = [-Cos t]_0^\pi =-[Cos t]_0^\pi = -(Cos\pi-Cos0)= 2[/tex]

[tex]\int_{-\pi}^\pi Sin t dt = \int_{-\pi}^0 Sin t\; dt + \int_0^{\pi} Sin t\; dt = -\int_0^{\pi} Sin t\; dt + \int_0^{\pi} Sin t \;dt =0[/tex]

[tex]\int_{3\pi \over 2}^{5\pi \over 2}\; |Sin t|\; dt[/tex]
On sait que
[tex]Sin(x - 2\pi)= Sin x\;\text{ donc }{3\pi \over 2}-2\pi=-{\pi \over 2}\text{ et }{5\pi \over 2}-2\pi={\pi \over 2}[/tex]
D'où :
[tex]\int_{3\pi \over 2}^{5\pi \over 2}\; |Sin t|\; dt =\int_{-\pi \over 2}^{\pi \over 2}\; |Sin t|\; dt[/tex]
que l'on coupe en 2 (pour différencier les cas sint <0 et sint t >0 --> valeur absolue !)
[tex]\int_{3\pi \over 2}^{5\pi \over 2}\; |Sin t|\; dt =\int_{-\pi \over 2}^{0}\; |Sin t|\; dt +\int_{0}^{\pi \over 2}\; |Sin t|\; dt[/tex]
Dans la première intégrale Sin t <0 donc |Sin t|=-Sin t  et dans la seconde on a Sin t >0 donc |Sin t| = Sint t
On a donc en fin de compte
[tex]\int_{3\pi \over 2}^{5\pi \over 2}\; |Sin t|\; dt=\int_{-\pi \over 2}^{0}\; -Sin t\; dt +\int_{0}^{\pi \over 2}\; Sin t\; dt[/tex]
Et enfin :
[tex]\int_{-\pi \over 2}^{0}\; -Sin t\; dt +\int_{0}^{\pi \over 2}\; Sin t\; dt=[Cos t]_{-\pi \over 2}^0\;+\:[-Cos t]_0^{\pi \over 2}[/tex]
La dérivée de Cos t étant -Sin t , une primitive de -Sin t est Cost  et de Sin t est -Cos t

La suite se passe de commentaire...

@+

[EDIT]J'ai corrigé quelques erreurs d'écriture sous Latex dans mon post précédent : des i en trop et un - oublié à partir de <<Là on passe l'exponentielle en haut et l'expression a été multipliée par 2... >>

LS

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Re : Limites

Merci beaucoup pour toutes vos explications.

yoshi

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Re : Limites

Bonjour,

J'avais laissé une question en suspens : l'intégrale comme limite d'une somme...
Si je considère l'intervalle [0 ; pi]sur lequel la fonction f, telle que f(x)=Sin x, est continue, que je subdivise cet intervalle en n sous-intervalles d'amplitude égale, et que je choisis des abscisses 0 = xo < x1 < x2 < ... < xn = pi, on a x1 - x0 = x2 - x1 = x3 - x2 = xn -xn-1 =pi/n.
Avec les abscisses c1 = pi/n, c2 = 2pi/n, c3 = 3pi/n..... la somme Sn = (x1 - xo)f(c1) + (x2 - x1)f(c2) + (x3 - x2)f(c3) + ... + (xn - xn-1)f(cn)
est une somme de Riemann attachée à f sur l'intervalle [0 ; pi]. en n sous-intervalles et la limite de la somme Sn = (x1 - xo)f(c1) + (x2 - x1)f(c2) + (x3 - x2)f(c3) + ... + (xn - xn-1)f(cn) quand n -->+oo est :
[tex]\int_0^\pi f(x)\;dx[/tex]

Or:
[tex]sn = Sin{\pi \over n}+Sin{2\pi \over n}+...+Sin{{(n-1)\pi \over n}[/tex]
Et la question porte sur :
[tex]{\pi\over n}sn= {\pi \over n}\left(Sin{\pi \over n}+Sin{2\pi \over n}+...+Sin{{(n-1)\pi \over n}\right)[/tex]
c'est à dire sur :
[tex]{\pi\over n}sn= {\pi \over n}Sin{\pi \over n}+{\pi \over n}Sin{2\pi \over n}+...+{\pi \over n}Sin{{(n-1)\pi \over n}}[/tex]
On est bien dans ce cas là...

En résumé, tous les termes de la forme
[tex]{\pi \over n}Sin{{(n-i)\pi \over n}}[/tex]
pour i allant de n-1 à 1, sont les aires de rectangles et si on augmente à l'infini (n -->+oo) le nombre de rectangles, la limite de la sommes des aires de ces rectangles est la valeur de l'intégrale de sin x entre 0 et pi..

@+