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slim1

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inéquation avec parametre

Bonjour, a tous.
Résoudre dans R l’inéquation suivante : x^4 −(1+(m+1)^2)x^2 +(m+1)^2 >= 0 où m est un paramètre réel.

Il s 'agit d'une équation de degré 4 .Je pose z=(m+1)^2 puis procède a la factorisation sans passer par le calcul du discriminant

on a alors la factorisation suivante:      (x^2 -1)(x^2-z)>=0   équivaut à   (x-1)(x-racine de z)(x+racine de z) >= 0 

je retrouve le même résultat avec le discriminant.

je décide alors de discuter le signe car je trouve           x >= -1       et       x>=1       x>=(m+1)^2    x>=-(m+1)^2

pour les x pas de problème j'y arrive mais pour( m E  R) alors comment faut il  faire,,,? est ce la bonne méthode l’étude du signe?

merci d 'avance

freddy

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Re : inéquation avec parametre

Salut,

ben non, l'inconnue, c'est $x$, pas $m$ pour lequel on te dit que c'est un paramètre.
Pose plutôt $X=x^2$ et regarde bien. C'est ce qu'on appelle une bicarrée !

PS  : je laisse la main à qui veut/peut, suis un peu occupé :-)

PS 1 : C'est du niveau lycée, pas "supérieur" ton truc !

Dernière modification par freddy (03-11-2016 10:46:59)

slim1

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Re : inéquation avec parametre

oui c est un entrainement sur les inéquation qu on nous a donné à résoudre .lol

slim1

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Re : inéquation avec parametre

re
m est un paramètre il n' intervient pas dans la solution , merci a toi freddy j avais oublié ceci.
on s interesse alors a x >= -1 et x>=1.

le tableau de signe me donne ]-inf,-1]U[1,inf[

freddy

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Re : inéquation avec parametre

Re,

Résoudre dans $R$ l’inéquation suivante : $x^4 −(1+(m+1)^2)x^2 +(m+1)^2 \ge 0$ où $m$ est un paramètre réel.

On pose $X=x^2$ et on a à résoudre  $X^2 −(1+(m+1)^2)X +(m+1)^2 \ge 0$

Que vaut ton discriminant ?
Les racines dépendront de $m$, c'est là que tu vas pouvoir entrer dans la discussion.

Dernière modification par freddy (03-11-2016 12:49:32)

slim1

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Re : inéquation avec parametre

si je passe par le discriminant je pose z=(m+1)^2
on a alors delta =z^2-2z+1=(z-1)^2          delta sup à o/ 2 solutions

on a alors   1+z (+-)racine de (z-1)^2  le tous divisé par2.
soit 2z/2 et 2/2
ce qui revient a ecrire (x^2-1)(x^2-z)  >=0   Je pose des maintenant grands X=x^2 comme tu me la suggéré :)
j ai alors (x-1)(x-z) >=0     sinon (x-1)(x+1)(x-racine de z)(x+ racine de z)>=0

j arrive a retrouver ce resultat sans calculer delta

freddy

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Re : inéquation avec parametre

Re,

oui, je suis d'accord avec ton idée de faire $Z=(1+m)^2$ ce qui permet de se ramener à résoudre l'inéquation suivante $(X-1)(X-Z) \ge 0$. Faut ensuite revenir en arrière car il faut qu'on ait :

soit $x^2-1 \ge 0$ et $x^2-(1+m)^2 \ge 0$ ou bien $x^2-1 \le 0$ et $x^2-(1+m)^2 \le 0$

Comment fais-tu, ensuite ?

Dernière modification par freddy (03-11-2016 15:00:42)

slim1

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Re : inéquation avec parametre

en faites freddy,
comme tu dis je reviens en arrière et du coup j ai l'inéquation suivante : (x-1)(x+1) (x-racine de z) (x+racine de z) x >=0 avec z=(1+m)^2
                                                                                  j en déduit que   x >= -1    x >= 1    x >= (1+m)   x >= -(1+m)
je discute le signe en respectant la condition initiale >=0  en dressant un petit tableau ou figure (x+1)(x-1) seulement
c est positif si et seulement si xe ]-inf,-1)U(1, inf]

Voila mon raisonnement , jai du louper un truc je le sens

freddy

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Re : inéquation avec parametre

Re,

moi, je ferai des différences de deux carrés + tableau de signe et hop, roulez bolides !

slim1

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Re : inéquation avec parametre

RE,
c est juste, j ai remarqué la différence de deux carrés, simplement jy suis arrivé d'une autre manière
au début j ai tenté une factorisation direct puis pour en etre sur, j ai utilisé la méthode du delta,sa m a conforté dans mon résultat.

C'est vers la conclusion que je me suis emmêle les pédales, je pensais qu'il faillais mettre le paramètre dans mon tableau de signe
merci pour ton aide

freddy

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Re : inéquation avec parametre

Re,

fais bien attention, car la discussion intègre bien des intervalles de valeur de $m$.
J'ai regardé pour $m \gt 0$, et $m=0$, le plus facile, mais c'est insuffisant, il y a d'autres valeurs critiques pour $m$ à examiner.