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#1 24-10-2016 20:08:55
- marwan33
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Ensemble et sous ensemble
Bonjour,
J'ai un exercice contenant différentes démonstrations à faire dont une où je suis bloqué. Je vous demande donc de l'aide pour la résoudre, on a:
Soit E un ensemble et A, B trois sous-ensembles de E, On rappelle A\B = { x ∈ A; X ∉ B}:
A ⊂ B <=> Ce(A) U B = E
Ce(A) étant le complément de A dans l'ensemble E
J'aurai donc besoin d'aide.
Merci
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#5 24-10-2016 21:14:08
- marwan33
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Re : Ensemble et sous ensemble
d'accords on peut donc dire que Ce(B) ⊂ Ce(A) d'ou Ce(B) U B = Ce(A) U B =E
je ne sais pas trop quoi faire car je ne visualise pas une démarche pour trouver l'équivalence dans ce cas :(
c'est la plus compliqué des 5 autre à faire.
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#6 24-10-2016 21:29:00
- freddy
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Re : Ensemble et sous ensemble
Salut,
je m'immisce rapidement
je n'ai vu que deux sous ensembles, A et B, et non 3 ? Erreur de plume ?!
Sinon, pour démontrer que P <=> Q, on montre que P implique Q, puis que Q implique P.
En simple, si A est inclus dans B, alors le complémentaire de A dans E est égal à $\bar{A}= E\setminus A =\{ x \in E, x \notin A\}$
et donc $\bar{A} \cup B = \{ x \in E, x \notin A\}\cup\{ x\in B \}=E$ car $B\supset A$ donc si $x \in B \Rightarrow x \in A$
Tu montres la réciproque ?
Dernière modification par freddy (25-10-2016 12:26:14)
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#8 24-10-2016 21:42:47
- freddy
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Re : Ensemble et sous ensemble
Ou alors, on peut écrire :
$A\subset B \Rightarrow \bar{B}\subset \bar{A} \Rightarrow \bar{B}\cup B=E \subset \bar{A}\cup B \Rightarrow \bar{A}\cup B=E$ ce qui est plus rapide et plus explicite.
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#14 25-10-2016 07:34:25
- freddy
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Re : Ensemble et sous ensemble
avec un diagramme de Venn on remarque bien que A est compris dans B et que A ∩ Ce(B) = B ∩ Ce(B)= ∅ d'ou A ⊂ B
Salut,
tu prends l'hypothèse pour en faire la conclusion, tu tournes en rond.
A priori, tu ne sais rien sur A par rapport à B sauf que tu déduis de la proposition initiale que $A\cap \bar{B}=\emptyset$. C'est cette disjonction qui te permet d'affirmer que A est inclus dans B, puisqu'il n'a aucun élément commun avec son complémentaire dans E.
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#16 25-10-2016 12:40:10
- freddy
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Re : Ensemble et sous ensemble
Re,
Hypothèse : $\{x \in E, x \notin A\} \cup \{x \in B\}= E \Leftrightarrow \{ x \in A\} \cap \{ x \in E, x \notin B\}=\emptyset$
Puisque $A \neq \emptyset$ par hypothèse, alors si $ x \in A \Rightarrow x \in B$ ce qui signifie que $A$ est un sous ensemble de $B$.
Dernière modification par freddy (25-10-2016 13:10:52)
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