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tibo

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La tête au carré

Salut,
Encore un problème issu des pépinières :

1. Les deux petits cercles du diagramme ont même rayon. Les trois cercles sont tangents deux à deux et sont tangents aux cotés du rectangle. Le rectangle a une largeur de 4. Trouver sa longueur.

2. Cette fois, les deux cordes représentées du grand cercle sont les diamètres (égaux) des petits cercles. Les cercles et demi-cercles sont tangent au rectangle, qui a pour largeur 4. Trouver sa longueur.

Dernière modification par tibo (22-10-2016 15:08:14)

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A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

jpp

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Re : La tête au carré

salut.

▼figure 1

La longueur du rectangle: [tex]L = 3 + 2.\sqrt2 = 5.828427...[/tex]

je cherche la seconde et c'est déjà moins évident .

j'ai une solution , mais il doit y avoir une façon plus simple de résoudre le problème.

▼figure 2

R = 2  ; c'est le rayon du grand cercle .  r  est le rayon des petits cercles .  On ne s'occupe maintenant que du petit cercle de gauche.

Son diamètre fait un angle  [tex] \alpha [/tex]  avec l'horizontale.

de droite à gauche AB  représente le diamètre de longueur 2r .  C est le milieu de la largeur inférieure du rectangle .

ABC est donc un triangle rectangle en B , puisqu'il est inscrit dans le demi-cercle de rayon R.

BH est la hauteur issue de B du triangle ABC.

une propriété du triangle rectangle conduit à :  AB² = AH x  AC  --->  4r²  = 4 AH  (puisque AC = 2R = 4)

Si bien que AH = r²  . Ce qui donne immédiatement  :

[tex] \sin{\alpha} = \frac{r}{2}      [/tex]

On peut calculer aussi le  cosinus alpha

[tex] \cos{\alpha} =  \frac{2}{r} - 1   [/tex]

Ainsi [tex] \cos²{\alpha} + \sin²{\alpha} = 1  [/tex]

d'où l'équation en r  :    [tex]  r^4  -  16r  + 16  = (r - 2).(r^3 + 2r^2 + 4r - 8) = 0 [/tex]

donne   r = 1.087378..  et   r' = 2   comme les 2 racines réelles (les 2 autres sont complexes conjuguées)

la longueur du rectangle  est [tex] L = 2R  + r -  r.\sin{\alpha} = 2R + r - \frac{r^2}{2} \approx 4.49618..[/tex]  sauf erreur.

puisque [tex]\sin{\alpha} = \frac{r}{2}[/tex]

  modif.  juste pour rappeler la valeur du sinus alpha calculée au dessus.

Dernière modification par jpp (23-04-2017 09:12:01)