Polynôme du second degré

MyGoldenChips · 10-10-2016 18:46:17

Bonsoir pouvez vous m'aider s'il vous plaît ;-;

On définit la fonction K sur R par K(x)=(m^2-m-1)x^2+mx+1 ou m est un réel appelé << paramètre >>. Tous les résultats doivent être justifiés pas le calcul

1. Calculer les deux valeurs de m pour lesquelles la fonction k est - une fonction affine ( on notera m1 et m2 les deux valeurs cherchées, avec m1<m2 )

2.on veut maintenant discutée du nombre de solutions de l'équation k(x)=0
a) résoudre cette équation pour m=0 puis pour m=2
b) que remarque t on
c) calculer le discriminant de l'équation ( m^2-m-1)x^2 +mx+1=0 et en déduire
. Les valeurs de m pour lesquelles l'équation k(x)=0 admet une unique solution m0
. L'intervalle de valeurs de m pour lesquelles l'équation k(x)=0 admet deux solutions indépendante m et m'

3) établir les tableaux de signe de la fonction f de la variable m définie par f(m)=m^2-m-1
Et en déduire , en fonction de m, l'orientation de la parabole correspondant à la représentation graphique de f

J,ai vraiment besoin d'aide

freddy · 10-10-2016 20:47:19

Salut,

on imagine bien que tu as besoin d'aide, mais que sais tu faire pour l'heure ? Par exemple, sais tu ce qu'est une fonction affine ?
Pour te mettre sur la piste, une fonction affine est de la forme [tex]y=ax+b[/tex]. Qu'en déduis tu pour ton sujet ?

freddy · 11-10-2016 11:24:02

Re,

je le code sous Latex, mieux visible et attends que le camarade revienne nous donner de ses nouvelles

MyGoldenChips a écrit :

Bonsoir pouvez vous m'aider s'il vous plaît ;-;
On définit la fonction [tex]K[/tex] sur[tex] \mathbb{R}[/tex] par [tex]K(x)=(m^2-m-1)x^2+mx+1[/tex] où [tex]m[/tex] est un réel appelé paramètre.
Tous les résultats doivent être justifiés par le calcul.

1. Calculer les deux valeurs de [tex]m[/tex] pour lesquelles la fonction K est une fonction affine (on notera [tex]m_1[/tex] et [tex]m_2[/tex] les deux valeurs cherchées, avec [tex]m_1 \lt m_2[/tex] ).
2.on veut maintenant discuter du nombre de solutions de l'équation[tex] K(x)=0[/tex].
a) résoudre cette équation pour[tex] m=0[/tex] puis pour [tex]m=2[/tex]
b) que remarque t-on ?
c) calculer le discriminant de l'équation [tex]( m^2-m-1)x^2 +mx+1=0[/tex] et en déduire
. Les valeurs de [tex]m[/tex] pour lesquelles l'équation [tex]K(x)=0[/tex] admet une unique solution [tex]m_0[/tex]
. L'intervalle de valeurs de [tex]m[/tex] pour lesquelles l'équation [tex]K(x)=0[/tex] admet deux solutions distinctes [tex]m[/tex] et [tex]m'[/tex]
3) établir les tableaux de signe de la fonction f de la variable [tex]m[/tex] définie par [tex]f(m)=m^2-m-1[/tex]
Et en déduire , en fonction de m, l'orientation de la parabole correspondant à la représentation graphique de f

C'est un joli et très classique sujet.

Dernière modification par freddy (11-10-2016 18:16:26)

freddy · 11-10-2016 18:33:39

Re

pour le 1), il faut et il suffit que le coefficient du [tex]x^2[/tex] soit nul, ce qui revient à chercher les solutions de[tex] m^2-m-1=0[/tex].

Or on a [tex]m^2-m-1= \left(m-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}[/tex] d'où l'on déduit que [tex]m_1 = \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}[/tex] et [tex]m_2 = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}[/tex].

Dans ce cas, [tex] K(x)= \frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1[/tex] ou bien [tex] K(x)= \frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1[/tex]

Pour le 2), on pose [tex]m=0[/tex]. Donc [tex]K(x) = -x^2+1 = (1-x)(1+x) = 0 \Leftrightarrow ???[/tex]

Je te laisse finir ou tu as disparu ?

Dernière modification par freddy (24-10-2016 07:22:07)

yoshi · 11-10-2016 18:41:29

Ah ms'ieu freddy,

tu ne devrais pas te précipiter :
http://www.ilemaths.net/sujet-polynome- … 10287.html
ou http://nosdevoirs.fr/devoir/1277036 mais là, la page n'existe plus...

Ces gars qui bouffent à tous les rateliers, ça m'exaspère à un point !...

@+

freddy · 11-10-2016 20:46:50

Merci m'sieur !

On va alors laisser refroidir :-)

tibo · 12-10-2016 17:05:21

Salut,

Je cherchais justement un DM intéressant pour mes première S ! ^^
Il faut que je le modifie un peu pour éviter que la correction soit trop facile à trouver sur internet, mais bon...

yoshi · 12-10-2016 18:21:43

Bonsoir,

@tibo
J'ai un certain nombre de problèmes de ce type très intéressants et assez longs qui datent de ma 1ere à moi...
Il faut juste que
* je les aie gardés (je pense que oui)
* je les retrouve (et ça ce n'est pas gagné).
Je vais voir ça... Si je remets la main dessus es-tu intéressé ? Ceux-là, ils ne les trouveront pas sur le net...

@+

[EDIT] J'ai gardé pas mal de bouquins de l'époque.
J'y ai trouvé deux exos.
Je poste à part...
Si tu n'en veux pas, freddy pourra toujours s'amuser avec...

Dernière modification par yoshi (12-10-2016 18:36:02)

MyGoldenChips · 12-10-2016 20:26:05

Merci pour vos réponses mais j'ai réussi à le finir avec l'aide de mon professeur :)

Dernière modification par MyGoldenChips (17-10-2016 16:28:41)

freddy · 13-10-2016 05:22:16

MyGoldenChips a écrit :

Merci pour vos réponses mais j'ai réussi à le finir avec l'aide de mon professeur :)

Salut,
"prof" avec un seul "f" stp !
Merci de venir nous le dire.
Je passerai finir le sujet, c'est un bon exercice d'entraînement et de révision de notions autour des polynômes du second degré avec des racines réelles. Comme le souligne yoshi, ce qui est amusant est que ça ressemble pas mal à ce qu'on faisait dans les années 70. Il y avait même des exos de bac série C de cette forme. Ça m'avait amusé de découvrir qu'on pouvait permuter les rôles entre "m" et "x" : tantôt variable, tantôt paramètre ... avant de découvrir les fonctions à plusieurs variables !

freddy · 17-10-2016 16:03:05

Re,

je continue et finis (presque :-)) :

2 - a) si [tex]m=2[/tex], alors [tex]K(x)=(x+1)^2 \ge 0[/tex]. La racine double est [tex]x=-1[/tex].

2 - b) ...

2 - c) [tex]\Delta_m = (2-m)\times(3m+2)[/tex] qui admet deux racines réelles distinctes : [tex]m_1 = 2[/tex] ou [tex]m_2 = -\frac{2}{3}[/tex]

L'équation initiale admet une racine réelle double ssi [tex]\Delta_m = 0 \Leftrightarrow m=m_{1,2}[/tex]
Pour $m_1=2$ on a $X_{1,2}=-1$, et pour $m_2=-\frac{2}{3}$ on a $X_{1,2}=3$

Si [tex]\Delta_m \gt 0[/tex], l'équation admet alors deux racines réelles distinctes. C'est le cas si [tex]m_2 \lt m \lt m_1[/tex] avec $m$ qui n'annule pas $m^2-m-1$ (be very carefull).

Elles valent [tex]X_{1,2}=\frac{-m \pm \sqrt{(2-m) \times (3m+2)}}{2(m^2-m-1)} [/tex]

Dans tous les autres cas, l'équation n'admet aucun racine réelle (mais deux racines complexes !).

Pour finir, on sait que la parabole est du signe du coefficient de [tex]x^2[/tex] à l'extérieur de ses racines, quand elles existent, et du signe opposé à l'intérieur. En absence de zéro de son expression analytique, elle est encore du signe de $x^2$, sans en changer pour le coup.

En étudiant, comme demandé, le signe de [tex]m^2-m-1[/tex] par un joli et soigné tableau des signes, on répond à la question du texte (ce que je ne ferai pas, sauf si l'on m'en prie !)

Dernière modification par freddy (23-10-2016 15:37:30)

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