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64julen2001

Invité

Algorithme

Bonjour à tous,

je me permets de vous solliciter car je bloque sur un ex sur fonction affine/algorithme, cela fait une semaine que je recherche des pistes car nous n'avons eu aucun cours.

le sujet est le suivant, et je vous remercie si vous pouvez m'aider rapidement, je dois rendre quelque chose demain:

"on considère une fonction affine f dont on ne connait que 2 antécédents x1 et x2 ainsi que leur images y1 = f (x1) et y2 = f (x2)

1/ ecrire un algorithme qui demande la valeur d'un antécédent et calcule son image par cette fonction f
2/ ecrire un algorithme qui demande la valeur d'une image et calcule son antécédent par cette fonction f"

nous n'avons pas encore traité ce sujet et internet ne m'a pas apporté de réponse suffisante pour aller au bout, si vous pouviez me donner des pistes de démarrage ou de présentation de l'algorithme, je pense que je bloque car ne sais pas comment commencer mais après je sais que me débrouillerai.

J'attends avec impatience vos réponses précieuses, merci beaucoup,

Julen, élève de 2nde

yoshi

Modo Ferox

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Re : Algorithme

Bonjour,

C'est pour demain ? Il fallait demander de l'aide avant, même si je salue ta persévérance...
Tu dois écrire cet algorithme avec un langage précis (en général Python ou AlgoBox) ou bien en pseudo-code (description des manœuvres en français très dépouillé ?
Connais-tu les couples[tex] (x_1\;;\;f(x_1)[/tex]  et  [tex](x_2\;;\;f(x_2)[/tex] ?

Dans l'attente de tes réponses on va faire des maths théoriques..
Donc f étant une fonction affine elle est définie sur tout [tex]\mathbb{R}[/tex]  par[tex] f(x)=ax+b[/tex] où a et b des constantes appartenant à [tex]\mathbb{R}[/tex].
On a le système
[tex]\begin{cases} ax_1+b&=f(x_1)\\ax_2+b&=f(x_2)\end{cases}[/tex]
On peut en extraire a et b...
Je soustrais membre à membre :
[tex]ax_2+b-(ax_1+b)=f(x_2)-f(x_1)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]a(x_2-x_1)=f(x_2)-f(x_1)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]a(x_2-x_1)=f(x_2)-f(x_1)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}[/tex] ou encore [tex]a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/tex]
On reporte a dans l'une ou l'autre des 2 équations, je choisis (par ex) la première.
[tex]\frac{x_1(y_2-y_1)}{x_2-x_1}+b=y_1[/tex]
D'où
[tex]b =y_1-\frac{x_1(y_2-y_1)}{x_2-x_1}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]b =\frac{y_1(x_2-x_1)}{x_2-x_1}-\frac{x_1(y_2-y_1)}{x_2-x_1}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]b =\frac{y_1(x_2-x_1)-x_1(y_2-y_1)}{x_2-x_1}=\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2-x_1}[/tex]
Ces calculs théoriques mathématiques sont indispensables pour la suite et doivent être présentés avant.

J'ai donc
[tex]f(x)=  \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\times x + \frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2-x_1}[/tex]

Algorithme 1
Demander le 1er couple [tex](x_1 ;\;y_1)[/tex]
Demander le 1er couple [tex](x_2 ;\;y_2)[/tex]
Calculer a et b -à partir des formules ci-dessus)
Demander l'antécédent [tex]x_3[/tex]
Calculer l'image correspondante y_3=f(x_3):
[tex]y_3 = a * x_3 + b[/tex]
Affichage de la réponse :
L'image de (valeur de [tex]x_3[/tex]) par f est (valeur de[tex] y_3[/tex])

Algorithme 2
Demander le 1er couple [tex](x_1 ;\;y_1)[/tex]
Demander le 1er couple [tex](x_2 ;\;y_2)[/tex]
Calculer a et b -à partir des formules ci-dessus)
Demander l'image [tex]y_3[/tex]
Calculer l'antécédent correspondant [tex]x_3[/tex] tel que [tex]f(x_3)=y_3[/tex]
[tex]x_3= \frac{y_3-b}{a}[/tex]
Affichage de la réponse :
L''antécédent de (valeur de [tex]y_3[/tex]) obtenue par f est (valeur de [tex] x_3[/tex])

Je n'ai encore rien testé mais je vais le faire...

@+

[EDIT] Gaffe pour b corrigée, voilà ce que c'est de faire de tête.

Dernière modification par yoshi (06-10-2016 11:47:00)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Algorithme

Re,

J'ai écrit les algorithmes vite fait en Python.
Exemples de sorties  :

Antécédents et images connus :
(x1 ; y1) = (-1 ; -8)
(x2 ; y2) = (2 ; 1)

La fonction f est telle que f(x) = 3.0x-5.0

Antécédent : 3
L'image de 3 par f est : 4.0

Image : -2
L'antécédent de cette image obtenue par f de -2 est : 1.0

@+

julen2001

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Re : Algorithme

Merci infiniment, je vais bien lire tout ça, et essayer de refaire par moi-même.

Je suis vraiment très reconnaissant, c pas facile sans cours de comprendre quelquechose de completement nouveau.

merci encore, à bientôt, si jeux aider de mon coté....

Julen

julen2001

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Re : Algorithme

le sujet est vraiment comme je l'ai écrit, je n'ai pas de valeurs, je pense qu'il s'agit de nous faire amorcer l'algorithmie

yoshi

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Re : Algorithme

Salut,

Bienvenue au nouveau membre !
Je suis à l'écoute de toute question.
Bonne réflexion.

@+