Forum de mathématiques - Bibm@th.net

layah

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espace vectoriel

Soit E=C([0,1] l'espace vectoriel des fonctions continues de [0,1] dans R muni de la norme de la convergence uniforme
avec norme infini de f= sup de la valeur absolue de f
Soit l'application A allant de E à E tq f-->A(f)=F
c-à-d F(x)=intégrale de 0 à x de {f(t)dt - f(0) - f(1) }
1° Montrer  que A est linéaire et continue

2° Soit la fonction fn  (n>=2)  défini par

                     2nx - 1           si x appartient à [0,1/n]

fn(x)=   {        1                   si x appartient à [1/n,1-1/n]

                     -2nx + 2n -1      si x appartient à [1-1/n,1]

a) représenter la fonction fn

b) On pose Fn = A(fn);  Calculer la norme infinie de Fn

3°  Calculer la norme de A

Y a t-il quelqu'un qui pourrait m'aider please, je suis complètement découragée!!!
Merci d'avance !!!!!!!!!!!!

Fred

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Re : espace vectoriel

Bonsoir,

  Précise plutôt tes questions, ce que tu sais et ce que tu ne sais pas faire...

F.

john

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Re : espace vectoriel

Bonsoir layah,
Où rencontres-tu des difficultés... tu as bien dû déjà faire qqchose non ?
1) A linéaire ?
A(f+g) = ...
A(k.f) = ...
A continu ?
A borné => ...
A+

layah

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Re : espace vectoriel

en fait j'ai déja fait toute la première ^partie et arrivée à la question 2°-b j'ai du mal à calculer la norme infinie de Fn et aprè je pense que je pourrais faire la dernière question!!!

moinou

Invité

Re : espace vectoriel

Salut tout le monde!!
effectivement arrivé a la question 2-b un petit pbleme se pose j y arrive pas!!
je voudrais bien avoir un réponse aussi!!
désolé de pas pouvoir t'aider laya!!!

john

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Re : espace vectoriel

ça ne change pas grand'chose mais, dans l'expression
F(x)=intégrale de 0 à x de {f(t)dt - f(0) - f(1) }
f(0) et f(1) sont-ils sous le signe somme ou non ?

john

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Re : espace vectoriel

21h pas de réponse donc 2 cas à envisager pour la méthode proposée...
Certes l'intégration par morceaux est pénible mais pas compliquée.
Pour réduire les investigations sur le x de sup/x il me semble utile de déterminer en premier l'abscisse du max. Comme on a la dérivée de F(x)...
Avec f(0) = f(1) = -1
**soit x est à la borne supérieure de l'intervalle => x=1 (si f(0) et f(1) sont sous le signe somme)
**soit  x = 1-1/(2.n) (dans le cas contraire).
Ensuite, il faut se payer l'intégration... on aboutit respectivement à :
3 - 2/n pour x=1
3 - 7/(4n) pour x=1-1/(2n)
Bye