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#1 10-03-2016 20:41:16
- tintin
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Calcul d'une intégrale à l'aide d'une transformée de Fourier
Bonjour
j'ai l'exercice suivant: soit [tex]a>0[/tex], et soit la fonction[tex] f(x)=e^{-ax} \chi_{[0,+\infty[}(x)[/tex].
1. calculer [tex]\widehat{f}[/tex]
Soit la fonction [tex]g(x)= e^{ax} \chi_{]-\infty,0]}(x)[/tex].
2. Calculer [tex]\widehat{g}[/tex]
3. Déduire la valeur de l'intégrale
[tex]\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2+4 \pi^2 x^2} dx[/tex]
Voici ce que j'ai fait.
pour 1. On a
[tex]
\widehat{f}(\xi)= \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-ax} e^{-ix \cdot \xi} dx = \dfrac{1}{a+i\xi}
[/tex]
pour 2. On a
[tex]
\widehat{g}(\xi)= \dfrac{1}{a-i\xi}
[/tex]
pour 3 je n'ai aucune idée de comment déduire la valeur de l'intégrale. Une aide please. Merci beaucoup.
Dernière modification par tintin (10-03-2016 20:42:52)
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#3 10-03-2016 22:19:17
- tintin
- Membre
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- Messages : 56
Re : Calcul d'une intégrale à l'aide d'une transformée de Fourier
[tex]
|\widehat{g}(2 \pi \xi)|^2 = \dfrac{1}{(a- 2 \pi i \xi)^2}= \dfrac{1}{a^2+ 4 \pi \xi^2}
[/tex]
donc l'intégrale qu'on nous demande de calculer vaut
[tex]
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} |\widehat{g}(2 \pi \xi)|^2 dx
[/tex]
Il y a une propriété qui nous permet de déduire directement cette intégrale? Ou bien on fait comment? Merci beaucoup.
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#6 10-03-2016 22:55:45
- Fred
- Administrateur
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Re : Calcul d'une intégrale à l'aide d'une transformée de Fourier
Je pense que tu n'as pas compris ma question. Je te parle d'un autre sujet de ce forum, où il était déjà question de calculer l'intégrale de la transformée de Fourier au carré d'une fonction...
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#7 10-03-2016 23:15:51
- tintin
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Re : Calcul d'une intégrale à l'aide d'une transformée de Fourier
Puisque
[tex]||g||_{L^2}= (2 \pi)^{-n/2} ||\widehat{g}||_{L^2}[/tex]
alors
[tex]
||\widehat{g}(2 \pi\xi)||= (2 \pi)^{n/2} ||g(2 \pi x)||_{L^2}= (2 \pi)^{n/2} \displaystyle\int_{-\infty}^0 |g(2 \pi x)|^2 dx
[/tex]
c'est ok?
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#10 10-03-2016 23:53:15
- tintin
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Re : Calcul d'une intégrale à l'aide d'une transformée de Fourier
Olus proprement, on écrit ça
[tex]
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2+4 \pi 2 x^2}dx = \displaystyle\int_{-\infty}^0 |\widehat{g}(2 \pi \xi)|^2 d \xi + \displaystyle\int_0^{+\infty} |\widehat{f}(2 \pi \xi)|^2 d\xi
[/tex]
[tex]
= (2 \pi)^{n/2} \displaystyle\int_{-\infty}^0 |g(2 \pi x)|^2 dx + (2 \pi)^{n/2} \displaystyle\int_0^{+\infty} |f(2 \pi x)|^2 dx
[/tex]
Comme ca c'est ok?
Dernière modification par tintin (10-03-2016 23:56:33)
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#11 11-03-2016 07:01:05
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Calcul d'une intégrale à l'aide d'une transformée de Fourier
Je ne pense pas. Tu as [tex]\int_{-\infty}^{+\infty}|\hat g|^2=\int_{-\infty}^{+\infty}|g|^2[/tex] et tant pis si [tex]g[/tex] est nulle sur les réels négatifs.
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#14 12-03-2016 14:28:02
- tintin
- Membre
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- Messages : 56
Re : Calcul d'une intégrale à l'aide d'une transformée de Fourier
Non, je pense qu'on s'est trompé. On a trouvé
[tex]
\widehat{g}(\xi)= \dfrac{1}{a-i \xi}
[/tex]
alors
[tex]
|g(2 \pi \xi)|^2 = \dfrac{1}{(a-i2 \pi \xi)^2}= \dfrac{1}{a^2+4 \pi^2 \xi^2-4a \pi \xi}
[/tex]
ce n'est pas la fonction dont on nous demande de calculer l'intgrale, il y a un terme en plus. On fait comment? Merci beaucoup.
Dernière modification par tintin (12-03-2016 14:28:31)
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