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DarwinBakami

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Dérivée d'une fonction rationelle

Bonjour, j'ai un problème sur un exercice et j'aurais besoin d'aide, le sujet :
"Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x²-2x-1/x²+
1)Calculer f'(x)
Alors j'ai utilisé la forme U/V et j'ai trouvé : 2x²+4x-2, c'est juste ?
2) déterminer une équation de la tangente au point d'abscisse 0. Comment peut-on vérifier que l'équation trouvée est juste ?
Là je dois faire quoi ? Je sais ce qu'est une équation de la tangente mais ça veut dire quoi au point d'abscisse 0 ?
3) Déterminer les abscisses des points de la courbe de f pour lesquels la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
??

Merci d'avance de votre aide.

yoshi

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Re : Dérivée d'une fonction rationelle

Bonjour,

Bienvenue chez nous...
Il n'y a pas que sur l'exercice qu'il y a un problème : il y en a un sur ce que tu nous donnes.
a). c'est sujet à interprétation, à cause de l'absence de parenthèses (et la priorité des opérations ?)
[tex]f(x)=x^2-2x-\frac{1}{x^2}+...[/tex] traduction exacte de ton énoncé ou [tex]f(x)=\frac{x^2-2x-1}{x^2+...}[/tex]
b) la définition de ta fonction est incomplète (tu n'as donc pas contrôlé ce que tu avais écrit...) :
   f(x)=x²-2x-1/x²+..?..     qu'y a-t-il après le + ?

N-B
* le point d'abscisse 0 est le point de la courbe qui a pour abscisse 0, autrement dit le point d'intersection de ta courbe avec l'axe des ordonnées...
* les tangentes parallèles à l'axe des abscisses ont 0 comme coefficient directeur....

Commence donc par rectifier ce qui ne va pas dans ton post...

Merci d'avance

@+

DarwinBakami

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Re : Dérivée d'une fonction rationelle

Bonjour,

Oui je viens de voir là ou il y'avait un problème : "f(x)= (x²-2x-1) /( x²+ 1)" Voici le corrigé.

Et du coup en calculant U/V je n'ai plus trouvé "2x²+4x-2" mais plutôt j'ai trouvé : (2x²+4x-2) / (x²+1)².

Ensuite pour l'equation de la tangente au point d'abscisse 0, j'ai compris qu'il fallait remplacer f'(a) et f(a) par 0 mais je sais aussi que pour la suite du calcul, tout dépend de ce à quoi f(x) est égal, par exemple si f(x)=x² alors les 0 devront être mis au carré...Mais ici f(x) = (x²-2x-1) / (X²+1) donc c'est plus compliqué....Faut-il faire
f'(0) (x-0) + f(0) = ((O²-2X0-1) (x-0²-2X0-1) + (0²-2X0-1)) / (X²+1) ?? Ce serait un truc comme ça non ?

Merci de votre aide !

yoshi

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Re : Dérivée d'une fonction rationelle

Re,

Q2

j'ai compris qu'il fallait remplacer f'(a) et f(a) par 0

Non.
Appelons A le point de la courbe d'abscisse 0 : ses coordonnées sont [tex]A(0\;;\;f(0))[/tex]
[tex]f(0)= \frac{0^2-2\times 0-1}{0^2+1}= -1[/tex]
Donc [tex]A(0\;;\;-1)[/tex]
L'équation de la tangente en un point de coordonnées [tex](x_0\;;\;y_0)[/tex] est
[tex]y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)[/tex]
Ici [tex](x_0\;;\;y_0)=(0\;;\;-1)[/tex]
Il ne manque plus que de connaître [tex]f'(0)[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{2x^2+4x-2}{(x^2+1)^2}[/tex] (c'est juste)
Donc [tex]f'(0)=\frac{-2}{1}=-2[/tex]

Equation cherchée :
[tex]y-(-1) = -2(x-0)\;\Leftrightarrow y =-2x-1[/tex]

Q3
Supposons que [tex]B(x_1\;;\;y_1)[/tex] soit un des points où la tangente en ce point à la courbe est parallèle à l'axe des abscisses.
Je t'ai dit toute droite  parallèle à l'axe des abscisses a une équation de la forme y = b, donc f'(x_1)=0.
Il te faut donc résoudre :
[tex]\frac{2x^2+4x-2}{(x^2+1)^2}=0\;\Leftrightarrow\;2x^2+4x-2=0\;\Leftrightarrow\;x^2+2x-1=0[/tex]
Et tu vas voir que [tex]x^2+2x-1=0[/tex] a deux solutions : il y a donc deux tangentes horizontales à la courbe...

La suite est élémentaire, je te laisse le plaisir de terminer !

@+

[EDIT]Une (petite) partie de ma réponse à la Q3 est inutile : je viens de relire ton énoncé.
Je reprends :
Les abscisses des points où tangentes à la courbe sont horizontales sont les valeurs de x telles que : f'(x)=0.
Cherchons donc les x tels que
[tex]\frac{2x^2+4x-2}{(x^2+1)^2}=0\;\Leftrightarrow\;2x^2+4x-2=0\;\Leftrightarrow\;x^2+2x-1=0[/tex]
Et tu vas voir que [tex]x^2+2x-1=0[/tex] a deux solutions : il y a donc deux tangentes horizontales à la courbe...

Ceci est en principe un prélude à la recherche :
- du sens de variation de la fonction
- des asymptotes et la position de la courbe par rapport à ces asymptotes
- éventuellement de limites

Dernière modification par yoshi (27-02-2016 15:08:58)

DarwinBakami

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Re : Dérivée d'une fonction rationelle

Okay en lisant un cours sur internet je comprends mieux comment on calcul une équation de tangente mais :

"Il ne manque plus que de connaître f′(0)
f′(x)=2x2+4x−2(x2+1)2f′(x)=2x2+4x−2(x2+1)2 (c'est juste)
Donc f′(0)=−21=−2f′(0)=−21=−2"

Là je n'ai pas compris pourquoi tu multiplies tout par deux ? Peux-tu m'expliquer ?

yoshi

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Re : Dérivée d'une fonction rationelle

Salut,

Je ne sais pas où tu vois que je multiplie tour par 2.
Dans f'(x), je remplace x par 0, je calcule et je trouve -2...

Voyons cela.
Le numérateur de f'(x) est  2x²+4x-2
Si je remplace x par 0, j'obtiens 2*0²+4*0-2= 0+0-2 = -2

Le dénominateur de f'(x) est (x²+1)²
Si je remplace x par 0, j'obtiens (0²+1)² =(0+1)²=1²=1

J'ai donc f'(0)=(-2)/1=-2.
Je n'ai pas tout multiplié par 2 comme tu le dis...

Sache que j'ai vérifié graphiquement :
- j'ai tracé la courbe représentative de ta fonction f
- j'ai tracé la tangente en (0 ; -1)
- j'ai tracé les tangentes horizontales
- j'ai tracé l'asymptote

Donc, il n'y a pas d'erreur...

@+

DarwinBakami

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Re : Dérivée d'une fonction rationelle

Bonjour !

Q2
Je viens de comprendre que dans ma tête j'avais recalculé f'(x) comme ça f'(x)=(2x-2-0) / (2x+1) j'imagine bien sûr que c'est faux.....J'ai du m’emmêler les pinceaux désolé et oublier la méthode du U/V ^^.

Du coup pour Q2
je reprends mon f'(x) et je remplace par 0 f'(0)= (2X0²+4X0-2) / (O²+1) = -2 / 1 = -2

Pour Q3, j'essaierai aussi dans la soirée en demandant à un pote de m'expliquer comment tout ça se passe graphiquement (car je n'arrive pas à comprendre en quoi les précédents résultats ( f'(x) etc) nous donne des informations sur le graphique...

Merci beaucoup pour ton aide !

yoshi

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Re : Dérivée d'une fonction rationelle

Salut Darwin

La question 3. est :

3) Déterminer les abscisses des points de la courbe de f pour lesquels la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.

Pas nécessairement question de graphisme ici.
C'est du cours
Le coefficient directeur en un point d'abscisse [tex]x_0[/tex] à la courbe représentative d'une fonction f est [tex]f'(x_0)[/tex]. Ok ?
Une droite est horizontale (parallèle à l'axe des abscisses) si son équation est de la forme y = cste, donc si son coefficient directeur est nul...
La question revient donc à chercher pour quelles valeurs de x on a f'(x)=0
soit ici :
[tex]\frac{2x^2+4x-2}{(x+2)^2}=0\:\Leftrightarrow\;\frac{2(x^2+2x-1)}{(x+2)^2}=0\Leftrightarrow\;x^2+2x-1=0[/tex]
Le dénominateur n'est pas nul.

Pour ce que j'ai écrit sur le sens de variation.
Si le coefficient directeur d'une tangente à la courbe représentative d'une fonction, sur un intervalle donné, est toujours >0  alors sur cet intervalle la fonction est croissante,
Si ce coefficient directeur est nul en un point la tangente est horizontale,
Si le coefficient directeur d'une tangente à la courbe représentative d'une fonction, sur un intervalle donné, est toujours < 0  alors sur cet intervalle la fonction est décroissante.
Donc c'est f'(x) qui va nous donner le sens de variation de ladite fonction.
Avec [tex]f'(x)=\frac{2(x^2+2x-1)}{(x+2)^2}[/tex]
Je vais en étudier le signe.
Et comme le dénominateur n'est jamais nul et toujours positif, cela revient à étudier le signe [tex]x^2+2x-1[/tex]
[tex]\Delta= 4-4\times 1 \times (-1)=8 = (2\sqrt 2)^2[/tex]
Les solutions de [tex]x^2+2x-1 = 0[/tex] sont donc :
[tex]x_1,x_2 =\frac{-2\pm 2\sqrt 2}{2}= -1\pm \sqrt 2[/tex]
Comme le coefficient de [tex]x^2[/tex] est >0 alors le signe de [tex]x^2+2x-1[/tex] est - entre les racines [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex], + à l'extérieur.
Et ce ci est donc aussi vrai pour la dérivée.
On dresse alors le tableau de variation suivant :

x     | -oo           x1        x2     +oo|
------|----------------|--------|---------|
f'(x) |       +        0   -    0    +    |
------|----------------|--------|---------|
      |             /      \           / |
f(x)  |            /        \         /   |
      |           /          \       /    |
      |        1 /            \     /     |1

Quand [tex]x\to \pm\infty[/tex]
-2x-1 est petit devant x² et 1 devant x², donc
f(x) tend vers [tex]\frac{x^2}{x^2}=1[/tex]
Il y a une asymptote horizontale d'équation y =1

Avec [tex]x_2=-1+\sqrt 2[/tex], combien vaut [tex]f(x_2)[/tex] ?
[tex]f(x_2)=\frac{(1+\sqrt 2)^2-2(-1+\sqrt 2)-1}{(-1+\sqrt 2)^2}=\frac{1-2\sqrt 2 +2 +2-2\sqrt 2 -1}{1-2\sqrt 2 +2}=\frac{4-4\sqrt 2}{4 - 2\sqrt 2}=\frac{2(2-2\sqrt 2)}{2(2-\sqrt 2)}[/tex]
[tex]
f(x_1)=\frac{2-2\sqrt 2}{2-\sqrt 2}=\frac{2(1-\sqrt 2)}{2-\sqrt 2}[/tex]
On ne laisse pas ça comme ça, on multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur :
[tex]f(x_1)=\frac{2(1-\sqrt 2)}{2-\sqrt 2}=\frac{2(1-\sqrt 2)(2+\sqrt 2)}{(2-\sqrt 2)(2+\sqrt 2)}=\frac{2(2+\sqrt 2 -2\sqrt 2 -2)}{4-2}=-\sqrt 2[/tex]
A toi, pour f(x1).

On peut encore trouver par le calcul que la courbe est au dessus de son son asymptote, croît jusqu'à un maximum (tangente horizontale), décroît traverse son asymptote décroît toujours jusqu'à un minimum (tangente horizontale), puis recroît jusqu' à son asimptote en restant en dessous...

@+

yoshi

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Re : Dérivée d'une fonction rationelle

Re,

Ca ne t'est pas demandé mais regarde.
Point où la courbe Cf franchit son asymptote :
[tex]\frac{x^2-2x-1}{x^2+1}=1\;\Leftrightarrow\;x^2-2x-1=x^2+1\;\Leftrightarrow\;-2x=2;\Leftrightarrow\;x=-1[/tex]
Un coup d’œil sur la courbe : c'est bien ça...
Position de la courbe par rapport à l'asymptote : on cherche le signe de la différence des ordonnées :
[tex]\frac{x^2-2x-1}{x^2+1}-1[/tex]
On va retomber sur le calcul ci-dessus (c'est lié à cet exercice) :
[tex]\frac{x^2-2x-1}{x^2+1}-1=\frac{x^2-2x-1}{x^2+1}-\frac{x^2+1}{x^2+1}=\frac{x^2-2x-1-x^2-1}{x^2+1}=\frac{-2x-2}{x^2+1}[/tex]
Et Le signe de [tex]\frac{x^2-2x-1}{x^2+1}-1[/tex], le dénominateur étant toujours positif, est donc celui de [tex]-2x-2[/tex]

x     |-oo     -1    +oo|
------|-----------------|
-2x-2 |   +     0   -   |

Ce tableau montre que
* pour [tex]x\in]-\infty\;;\;-1[[/tex] la courbe est au dessus de l'asymptote
* pour x = -1, la courbe traverse l'asymptote
* pour [tex]x\in]-1\;;\;+\infty[[/tex] la courbe est au dessous de l'asymptote

N-B je t'ai écrit dans le post précédent :

Quand [tex]x\to \pm\infty[/tex]
-2x-1 est petit devant x² et 1 devant x², donc
f(x) tend vers [tex]\frac{x^2}{x^2}=1[/tex]

Une démonstration plus rigoureuse serait d'écrire :
[tex]\frac{x^2-2x-1}{x^2+1}=\dfrac{x^2\times \left(1-\frac 2 x-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\times \left(1+\frac{1}{x^2}\right)}[/tex]
x^2 étant différent de 0 on simplifie par x^2 :
[tex]\frac{x^2-2x-1}{x^2+1}=\dfrac{1-\frac 2 x-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}[/tex]

Que x tende vers [tex]+\infty[/tex] ou [tex]-\infty[/tex] :
* [tex]1-\frac 2 x-\frac{1}{x^2}[/tex] tend vers 1
* [tex]1+\frac{1}{x^2}[/tex] tend vers 1
Donc
[tex]\dfrac{1-\frac 2 x-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}\to 1[/tex]
et donc
[tex]\frac{x^2-2x-1}{x^2+1}\to 1[/tex]

@+