Forum de mathématiques - Bibm@th.net

kadaide

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bezout

Bonjour

au+bv=c
a et b premiers entre eux
soit (u0,v0) solution particuliére
au+bv=c
au0+bv0=c
par différence:
a(u-u0)+b(v-v0)=0
a(u-u0)= -b(v-v0)
a ne divise pas b donc a divise (v-v0) d'après th de gauss
donc existe k entier tel que v-v0=ka
v=ka+v0
a(u-u0)=-bka
u-u0=-bk
u=-bk+u0

J'ai regardé dans des livres et j'ai remarqué qu'il y a des signes - un peut partout, c'est à dire chaque livre présente autrement les résultats.

Je voulais m'assurer si ma démarche est juste.

Merci pour vos commentaires

Fred

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Messages : 7 352

Re : bezout

Bonjour,

  Ta démarche est valide. Pour être tout à fait complet, tu devrais faire aussi la réciproque.
Précisément, tu as démontré la chose suivante :

si u et v sont des entiers tels que au+bv=c, alors il existe un entier k tel que u=u0-bk et v=v0+ka.

Il faudrait aussi démontrer la réciproque : s'il existe un entier k tel que u=u0-bk et v=v0+ka, alors au+bv=c.
(cette réciproque est bien sûr très simple à démontrer).

F.

Ostap Bender

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Messages : 242

Re : bezout

Bonjour à tous.

Valide, oui si on ne regarde pas trop les détails :

[tex]a[/tex] ne divise pas [tex]b[/tex] donc [tex]a[/tex] divise [tex](v-v_0)[/tex] d'après th de gauss

ferait bien mieux d'être remplacé par

[tex]a[/tex] est premier avec [tex]b[/tex] donc [tex]a[/tex] divise [tex](v-v_0)[/tex] d'après le théorème de Gauss.

Ostap Bender

kadaide

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Re : bezout

bien entendu:
s'il existe un entier k tel que u=u0-bk et v=v0+ka alors:
au+bv=a(u0-bk)+b(v0+ka)=au0-abk+bv0+bka=au0+bv0=c