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Krokodyle Sama

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Intégrale dépendant d'un parametre

Bonjours a tous et a toutes
j'ai de sérieux problème dans cet exercices et besoin d'aide voila l’énonce:

pour tous  [tex]x \in \mathbb{R}                               F(x)=  \int_0^{1}\,\frac{\exp(-x^2(1+t^2))}{1+t^2}\,dt [/tex]

                  [tex]                                                   G(x)=( \int_0^{x}\,\exp(-t^2)\,dt )^2             [/tex]

1)Montrez que [tex]F[/tex] est de classe [tex]C^1[/tex] sur [tex]\mathbb{R}[/tex] et precisez [tex] F'(x) [/tex]
2)Montrez que [tex]G[/tex] est de classe [tex]C^1[/tex] sur [tex]\mathbb{R}[/tex] et precisez [tex] G'(x) [/tex]
3)Montrez que la fonction [tex]F+G[/tex] est constante sur [tex]\mathbb{R}[/tex]
4)Determinez  [tex]\lim_{x \to +\infty}F(x)[/tex]

Ostap Bender

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Re : Intégrale dépendant d'un parametre

Bonjour Krokodyle Sama.

Bravo ! Tes progrès en [tex]\LaTeX[/tex] sont spectaculaires !

La question 2) est élémentaire.

Pour la question 1), de quels théorèmes disposes-tu ?

Ostap Bender

Krokodyle Sama

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Re : Intégrale dépendant d'un parametre

Pour la question 1 j'arrive a trouver la bonne réponse qui est un peu évidente on sait que sait que si la fonction qui est intégré est continue par rapport au domaine de définition de la variable x et du paramètre t et dérivable par rapport a x dans ces domaine et sa dérivé est continue (ce qui revient a dire qu'elle est de classe  [tex]C^1[/tex]la dérivé de la fonction [tex] F [/tex] définie par l’intégrale est l’intégrale de la dérivé par rapport a x de la fonction intégré

Mon problème est a la question 2 [tex]G'[/tex] mais sinon les question sont plus au moins facile

merci Ostap t'est toujours présent pour repondre a nos questions.

Ostap Bender

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Re : Intégrale dépendant d'un parametre

Tu sais dériver
                  [tex]x \longmapsto \int_0^{x}\,\exp(-t^2)\,dt [/tex]
Donc tu sais dériver son carré, non ?

Ostap Bender

Krokodyle Sama

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Re : Intégrale dépendant d'un parametre

Mon problème c'est que ou est [tex]x[/tex] dans l'expression de [tex]G[/tex] , on remarque qu'il est dans les bornes en dérivant la fonction intégré par rapport a x on aura 0 qui me parait louche un peu comme réponse

Fred

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Re : Intégrale dépendant d'un parametre

Hello,

  Tu confonds Krokodyle intégrale dépendant d'un paramètre (quand le paramètre qui vérifie est dans l'intégrale, mais que les bornes sont fixes) -c'est le case de F-, et intégrale d'une fonction fixe avec des bornes qui varient (c'est le cas de G).
Tu sais écrire la primitive qui s'annule en 0 d'une fonction à l'aide d'une intégrale????

F.

Krokodyle Sama

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Re : Intégrale dépendant d'un parametre

Oui je sais écrire la primitive qui s'annule en [tex]c[/tex] d'une façon générale mais je ne vois pas le rapport si tu peux expliciter plus Fred et merci

Ostap Bender

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Re : Intégrale dépendant d'un parametre

Eh bien, tu n'as qu'a suivre les conseils de Fred, que je salue, et écrire cette primitive de [tex]t\longmapsto \exp(-t^2)[/tex] qui s'annule en zéro. C'est beaucoup plus élémentaire que le théorème de dérivation sous le signe somme que tu as utilisé à la question 1).

Ostap Bender

Krokodyle Sama

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Re : Intégrale dépendant d'un parametre

je suppose que c'est honteux mais je n'arrive pas a calculer [tex] \int_0^{x}\,\exp(-t^2)\,dt[/tex]

Ostap Bender

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Re : Intégrale dépendant d'un parametre

Je ne sais pas si c'est honteux mais moi non plus, je ne sais pas calculer [tex] \int_0^{x}\,\exp(-t^2)\,dt[/tex].
Mais là n'est pas la question. On ne te demande pas de calculer cette intégrale, mais de la dériver !

Ostap Bender

Krokodyle Sama

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Re : Intégrale dépendant d'un parametre

bah il faut la calculer pour la dériver car le variable x est dans les bornes donc il faut la primitive pour la dériver non? sinon je n'ai pas pus la dériver

Ostap Bender

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Re : Intégrale dépendant d'un parametre

Rappel :
Le théorème fondamental de l'analyse dit que si [tex]f[/tex] est une fonction continue sur un intervalle[a,b] alors la fonction F définie sur [a,b]par [tex]F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm dt[/tex] est dérivable sur l'intervalle[a,b, et pour tout réel x de [a,b], F'(x) = f(x).
[tex]% \forall x\in [a,b],\; F'(x) = f(x)[/tex].
Si ce théorème est appelé fondamental, c'est qu'il y a des raisons. Il ne sert pas seulement à faire joli dans un cahier de cours.

Ostap Bender

Désolé Fred, j'ai craché les haricots trop tôt. J'ai ensuite essayé d'effacer les traces avec une balise "color", mais trop tard ! J'aurais dû penser à la balise "spoiler".
J'apprends... et ça se voit !

Dernière modification par Ostap Bender (10-02-2016 21:47:51)

Fred

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Re : Intégrale dépendant d'un parametre

C'est un théorème de Terminale Krokodyle que tu dois utiliser.
Réfléchis à ce que Ostap Bender et moi te disons. Je vais encore être plus précis.
Comment écris-tu, à l'aide d'une intégrale, la primitive de la fonction [tex]t\mapsto e^{-t^2}[/tex] qui s'annule en 0.
Je t'ai bien dit comment l'écris-tu. Je ne veux pas que tu essaies de calculer l'intégrale....

F.

Krokodyle Sama

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Re : Intégrale dépendant d'un parametre

Je savais que quelques chose m’échappais merci Ostap j'avais oublié ce théorème je pensais a quelques chose compliqué et j'ai perdu de vue quelques chose d’évident   Fred voila la primitive qui s'annule en 0 [tex]\int_0^{x}\,\exp(-t^2)\,dt[/tex]