Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Terces

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Application linéaire.

Bonsoir,

Voila sur quoi je suis "tombé" :

1 — L’application R → R, f : x 7→ f(x) = 5x est une application linéaire de R vers R, on
vérifie immédiatement que
a. f(x + y) = 5(x + y) = 5x + 5y = f(x) + f(y),
b. f(kx) = 5(kx) = 5kx = k 5x = k f(x).
2 — L’application de R³ dans R² définie par f(x, y, z) = (y, x + y − z, 3y − x) est aussi une
application linéaire.

Alors, Je ne comprends pas le cas 2 car déjà pourquoi il y a R³ dans R² et non R³ dans R³ ?
Ensuite, au cas 1 on utilise une définition pour le démontrer :
i. ∀X ∈ E, ∀Y ∈ E, f(X + Y) = f(X) + f(Y),
ii. ∀X ∈ E, ∀λ ∈ R, f(λX) = λ f(x).
Mais j'ai essayé des "variantes" et je ne ne trouves pas comment démontrer le 2, pourriez vous m'aider ?

SURPRISE

Ostap Bender

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Re : Application linéaire.

Bonsoir Terces.

Effectivement ton application [tex]f[/tex] aboutit dans [tex]{\mathbf R}^3[/tex].
Il n'y a aucune malice dans les calculs, si tu sais factoriser par [tex]\lambda[/tex].
Prends plutôt [tex]X=(x,y,z)[/tex] et [tex]X'=(x',y',z')[/tex] comme lettres, tu t'y retrouveras mieux, je pense.

Ostap Bender

Terces

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Re : Application linéaire.

Re,

Merci pour ta réponse rapide, donc quand tu me dits de factoriser, c'est comme pour la combinaison linéaire ? Mais dans ce cas ca ne marche pas il me semble, x, y et z devraient être conditionnés (si ca ce dit...)
Et comment on vérifie :
i. ∀X ∈ E, ∀Y ∈ E, f(X + Y) = f(X) + f(Y)
ici étant donné qu'on a trois variables ?

Ostap Bender

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Re : Application linéaire.

Tu n'as pas trois variables. Tu en a six :[tex]x,y,z,x',y',z'[/tex] qui se résument en deux variables [tex]X[/tex] et [tex]X'[/tex] que je préfère à  [tex]X[/tex] et [tex]Y[/tex], de même qu'un vecteur de l'espace est le résumé de ses trois coordonnées.

Ostap Bender

Terces

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Re : Application linéaire.

Ok, je crois que j'ai vu un exemple de ce que tu dis sur un site, je vais tenter de comprendre.

Terces

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Re : Application linéaire.

Re,
C'est bon j'ai pu démontrer que c'est une application linéaire. Merci.