Forum de mathématiques - Bibm@th.net

devil

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question 1

Bonjour,
je souhaite calculer la dérivée dans [tex]\mathcal{D}'(\mathbb{R}[/tex] de [tex]T_1=|x|.[/tex]
1- Tout d'abord, je trouve que l'on peut dire que [tex]|x| \in L^1_{loc}(\mathbb{R})[/tex] car [tex]T_1[/tex] est continue. Par quel théorème on a cette affirmation?
2- Ensuite, pour le calcul de la dérivée, on a pour toute fonction test[tex] \varphi,[/tex]
[tex]< T'_1,\varphi>=-\displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi'(x) dx - \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi'(x) dx[/tex]
Si on calcule [tex]-\displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi'(x) dx[/tex] par l'intégration par parties, on trouve
[tex]-[x \varphi(x)]_{-\infty}^0 + \displaystyle\int_{-\infty}^0 \varphi(x) dx[/tex]
pour [tex][x \varphi(x)]_{-\infty}^0[/tex], qu'est ce que ca vaut en [tex]-\infty[/tex]? [tex]\varphi(-\infty)=0[/tex], mais si on la multiplie par[tex] x=-\infty,[/tex] qu'est ce qu'on pourra dire?

Merci par avance pour votre aide.

Dernière modification par devil (15-01-2016 18:11:02)

Fred

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Re : question 1

Re-

1. Tu veux démontrer que ta fonction est intégrable sur tout segment. Il suffit de démontrer qu'elle est bornée. Et une fonction continue est bornée sur un segment.

2. Il vaut mieux comprendre [tex]\lim_{x\to-\infty}x\varphi(x)[/tex]. Mais [tex]\varphi[/tex] est à support compact, disons dans [a,b], et donc si [tex]x<a[/tex], [tex]x\varphi(x)=0[/tex]. Donc sa limite en [tex]-\infty[/tex] est nulle.

F.

Ostap Bender

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Re : question 1

Bonsoir devil,
[tex]-\displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi'(x) dx - \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi'(x) dx = - \int_{-\infty}^{+\infty} x \varphi'(x) dx[/tex].
Que peux-tu en conclure ?

Ostap Bender.

devil

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Re : question 1

Bonsoir,
j'ai bien compris la réponse de Fred, mais je ne comprend pas ce que tu veux dire Ostap Bender