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#1 29-12-2015 20:19:58
- devil
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question
Bonjour,
je bloque complètement sur la question suivante:
Si on a une fonction [tex]g \in L^1(0,1)[/tex], et on pose [tex]w(x) = \int_0^x g(t) dt[/tex].
1- j'essaye de montrer que[tex] w\in C^0([0,1])[/tex] et que sa dérivée faible est[tex] w'=g[/tex]?
Merci par avance pour votre aide.
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#2 29-12-2015 22:39:28
- Fred
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Re : question
Bonsoir,
Pour démontrer que [tex]w[/tex] est continue, tu peux fixer [tex]x_0[/tex] et démontrer que
[tex]w(x_0+h)-w(x_0)[/tex] tend vers 0 lorsque h tend vers 0. Tu peux simplifier l'expression de la différence
par la relation de Chasles, puis démontrer que cela tend vers 0 en appliquant le théorème de convergence dominée à
la fonction [tex]\mathbf 1_{[x_0,x_0+h]}g[/tex].
Pour la deuxième partie, tu dois démontrer que, pour tout fonction [tex]\varphi\in \mathcal C_c^\infty([0,1])[/tex], on a
[tex]\int_0^1 w(x)\varphi'(x)dt=-\int_0^1 g(t)\varphi(t)[/tex].
Tu pars du membre de gauche, tu remplaces w par son expression. Tu obtiens une intégrale double, tu échanges les deux intégrales en utilisant le théorème de Fubini (attention aux bornes d'intégration), puis tu simplifies....
F.
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#3 30-12-2015 00:02:17
- devil
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Re : question
Bonsoir,
pour 1. on obtient [tex]w(x_0+h)-w(x_0)| = |\displaystyle\int_{x_0}^{x_0+h} g(t) dt| \leq \displaystyle\int_{x_0}^{x_0+h} |g(t)|dt[/tex]. Je ne comprend pas comment utiliser la convergence dominée ici, car il faut avoir une suite qui converge simplement, on n'a pas ça ici.
pour 2. On obtient [tex]\displaystyle\int_0^1 w(t) \varphi'(t) dt = \displaystyle\int_0^1 \displaystyle\int_0^x g(t) \varphi'(t) dt[/tex]
Le problème est qu'il y' a deux intégrale normalement il doit y avoir dt et dy par exemple, et au lieu de ca, il n'y a que dt, je ne comprend pas.
Merci par avance pour votre aide.
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#4 30-12-2015 08:16:09
- Fred
- Administrateur
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Re : question
Pour 1. réfléchis bien à la fonction à laquelle je t'ai dit d'appliquer le théorème de convergence dominée. Que vaut son intégrale sur [0,1] ?
Pour 2. il y a un problème quand tu remplaces w(t). Reprends cela calmement.
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#5 31-12-2015 18:43:13
- devil
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Re : question
Bonsoir,
Je trouve que [tex]|w(x_0+h)-w(x_0)|=\int_{x_0}^{x_0+h} g(t) dt[/tex], maintenant j'essaye d'appliquer le théorème de convergence dominée sur la fonction [tex]1_{x_0,x_0+h}g[/tex], mais je n'y comprend rien, il faut une suite pour appliquer la convergence dominée, et là on n'a pas de suite. Comment finir le raisonnement? S'il vous plaît.
2- Pour montrer que[tex] w'=g[/tex] au sens faible, on montre que pour toute fonction test [tex]\phi[/tex], on a [tex]\int_0^1 w'(t) \phi(t) dt = \int_0^1 g(t) \phi(t) dt[/tex].
on a par définition de[tex] w(t)[/tex], que
[tex]\int_0^1 w(t) \phi'(t) dt = \int_0^1 (\int_0^t g(x) dx) \phi'(t) dt[/tex]
et là, on doit utiliser Fubini, mais j'ai des lacunes dans Fubini, je n'arrive pas à l'appliquer. Pouvez vous m'expliquer s'il vous plaît, comment on change l'ordre des intégrales et donc utiliser Fubini?
Je vous remercie par avance.
Dernière modification par devil (31-12-2015 18:43:51)
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#9 03-01-2016 18:35:55
- devil
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Re : question
Quand h tend vers zéro, [tex]g_h(x)[/tex] tend vers 0 lui aussi, puisque dans ce cas, [tex]g_h(x)=1_{x_0,x_0} g(x)[/tex]. Ce que je ne comprend pas, c'est que: c'est quoi le rapport entre cette fonction et l'application du théorème de convergence dominées?
Merci par avance.
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#10 03-01-2016 21:32:16
- Fred
- Administrateur
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Re : question
Comme en plus tu peux majorer [tex]|g_h|[/tex] par 1, qui est une fonction intégrable sur [0,1], pas le théorème de convergence dominée,
[tex]\lim_{h\to 0}\int_0^1g_h(x)dx=\int_0^1 dx=0[/tex]
ce qui est exactement ce que tu veux.
F.
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#11 05-01-2016 23:40:15
- devil
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Re : question
Bonsoir,
merci beaucoup pour ces explications claires.
S'il vous plaît, pour montrer que[tex] w'=g[/tex] au sens faible, on montre que pour toute fonction test [tex]\phi[/tex], on a [tex]\int_0^1 w'(t) \phi(t) dt = \int_0^1 g(t) \phi(t) dt[/tex].
on a par définition de[tex] w(t)[/tex], que
[tex]\int_0^1 w(t) \phi'(t) dt = \int_0^1 (\int_0^t g(x) dx) \phi'(t) dt[/tex]
et là, on doit utiliser Fubini, mais j'ai des lacunes dans Fubini, je n'arrive pas à l'appliquer. Pouvez vous m'expliquer s'il vous plaît, comment on change l'ordre des intégrales et donc utiliser Fubini?
Je vous remercie par avance.
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#13 09-01-2016 18:07:04
- Ostap Bender
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Re : question
Bonsoir devil.
Est-ce que ton problème concerne les conditions d'application du théorème de Fubini ou bien sa mise en oeuvre dans ce cas particulier ?
En bref, est-ce un problème d'analyse (veux-tu que nous revoyons le cours ensemble) ou un problème de géométrie : comment faire le dessin ?
Ostap Bender
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#14 09-01-2016 18:23:53
- Ostap Bender
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Re : question
PS.
Es-tu bien sûr de l'égalité à démontrer : [tex]\displaystyle \int_0^1 w'(t) \phi(t) dt = \int_0^1 g(t) \phi(t) dt[/tex] ?
Il n'y a rien qui cloche ?
Ostap Bender
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