abri

sotsirave · 11-12-2015 01:33:36

Bonjour

Dans ces deux villes de Bien et de Mal, les célibataires biennois , plus nombreux dans un rapport 5/3 (5 célibataires biennois pour 3 célibataires mallois), comptent 2 garçons pour 3 filles et les célibataires mallois, 5 garçons pour 4 filles.
Lors du passage de deux célibataires de ces villes à proximité d’un abri, un violent orage les oblige à s’y réfugier .
1) Donner une approximation de la probabilité de l’événement X, pr(X) : les deux célibataires sont de villes et de sexes différents si on ne connaît pas l’effectif des célibataires des deux villes (dans ce cas, on suppose qu’il est « très » grand).
Remarque : Pour 2 habitants a et b de ces deux villes qui se rencontrent, les événements : « a est célibataire » et « b est célibataire » sont indépendants.
2) Calculer Pr(X) si le nombre de ces célibataires est n, n>23 .
Quelle est la [tex] \lim_{n \to +\infty}[/tex] pr(X) ?

.

Dernière modification par sotsirave (11-12-2015 01:54:15)

Terces · 12-12-2015 09:55:53

Salut,

▼Proposition 1

A oui au fait, je ne comprends pas très bien ta 2ème question...

Dernière modification par Terces (12-12-2015 17:53:24)

freddy · 13-12-2015 08:52:11

Salut,

▼une idée

Je ne comprends pas non plus la seconde question.

sotsirave · 13-12-2015 22:26:08

bonjour

Par exemple, vous oubliez la première question et vous prenez la seconde avec n célibataires car dans cette première, on ne donne pas n mais un "grand" nombre de célibataires.

Terces · 13-12-2015 22:47:25

bonsoir

Je ne vois pas ce que ca change étant donné qu'il n'y a qu'une rencontre il me semble. Tous ceux qui ne sont pas des célibataires ne nous intéressent pas.

PS: tu penses quoi de nos réponses ?

sotsirave · 14-12-2015 00:56:21

bonsoir Terces

Ce qui change c'est pr(X) qui dépend de n non?

Ta réponse est bonne et confirmée par la réponse 2.(n tend vers l'infini)

Terces · 14-12-2015 14:12:47

Ok,
Mais avec ces 24+ célibataires quelles sont les proportions ? Si les proportions ne changent pas il me semble que le résultat sera le même.

sotsirave · 14-12-2015 21:01:54

bonsoir Terces

non, la probabilité dépend de l'effectif des célibataires et elle est plus facile à calculer.

Terces · 14-12-2015 21:31:02

Désolé, je ne vois pas^^ pour moi cette quantité ne change rien, je me viens voir ta solution pour essayer de comprendre ce que tu veux dire si j'ai apparemment traité le cas le plus difficile ;)

Dernière modification par Terces (14-12-2015 21:31:18)

sotsirave · 15-12-2015 20:48:51

bonsoir Terces

Il suffit de dénombrer les cas favorables c'est classique, rien de spécial.

Terces · 15-12-2015 22:46:16

Bonsoir,

Je ne comprends pas comment juste en disant que le nombre de célibataires est 27 par exemple, je peux comprendre l’énoncé en gardant les dites proportions garçon/fille ou des villes.
Je veux bien une reformulation de ta question si tu ne veux pas me donner ta solution^^ mais il faudra bien un jour qu'on sache la vérité si personne d'autre ne se prononce.

sotsirave · 16-12-2015 00:06:41

bonsoir Terces

Si je te dis que le nombre de célibataires ne peut pas être 27, est-ce que cela peut t'aider?

sotsirave · 16-12-2015 00:26:57

Bonsoir

▼Solution de la 1ère question

Dernière modification par sotsirave (19-12-2015 17:05:07)

Terces · 16-12-2015 08:00:54

sotsirave a écrit :

bonsoir Terces
Si je te dis que le nombre de célibataires ne peut pas être 27, est-ce que cela peut t'aider?

Ha ok je crois que je vois la différence en effet, désolé^^ j'essayerais le calcul demain soir si tout va bien.

freddy · 16-12-2015 14:54:48

sotsirave a écrit :

Bonsoir
▼Solution de la 1ère question
Ne connaissant pas le nombre des habitants, la méthode consistant à traiter les probabilités individuellement doit donner une bonne approximation.
BG est l’évènement : célibataire biennois (et garçon) :
BF est l’évènement : célibataire biennoise (et fille) :
Idem, MG et MF pour les célibataires de Mal.
On a :
   p(BG) = (3/8)*(5/9)=5/24
   p(BF) = (3/8)*(4/9)= 1/6
   p(MG) = (5/8)*(2/5) = 1/4
   p(MF) = (5/8)*(3/5) = 3/8

La probabilité demandée est : Pr(X) = (5/24 * 3/8 + 1/6 * 1/4) * 2 = 23/96 = 24% à 5*10-2 % près par excès.
(le facteur 2 car on peut inverser les célibataires)
En effet ; soit E = { BG,BF,MG,MF}. on considère l’univers A =E² .
L’événement demandé est X ={ (BG,MF) ;(BF,MG) ;(MF,BG) ;(MG,BF)} C A
On a Pr(X) = (5/24 * 3/8 + 1/6 * 1/4 + 3/8 * 5/24 + 1/4 * 1/6) = (5/24 * 3/8 + 1/6 * 1/4) * 2 = 23/96
(On peut calculer l’événement contraire des 12 couples formés de deux garçons (11/24)² , de deux
filles (13/24)² et de garçons et filles d’un même village (37/144)

Salut,

pas vraiment d'accord avec la solution que tu proposes.

Pour avoir un couple de villes et sexes différents, tu as deux combinaisons disjointes d'événements : tu prends H qui vient de B ET F qui vient de M OU F qui vient de B ET H qui vient de M.

Il faut donc d'abord choisir la ville, puis le sexe du célibataire dans la ville ET choisir l'autre ville et l'autre sexe du célibataire, OU choisir la ville et l'autre sexe célibataire de la vile ET choisir l'autre ville et le sexe opposé du célibataire dans cette ville. (choisir an sens de tirer au sort). Il n'y a pas de symétrie, contrairement à ce que tu dis.
D'où mon résultat.

sotsirave · 16-12-2015 20:02:33

Bonsoir Freddy

J'ai une petite idée de l'erreur de ton raisonnement.
Maintenant, fais la question suivante en prenant par exemple n = 24 ou n = 1200 et donne moi tes résultats.

freddy · 16-12-2015 20:38:39

Re,

où me serais je trompé dans mon raisonnement ? Le cas numérique m'intéresse peu pour le moment, je regarderai plus tard.
Mais je te propose de réfléchir sur le déroulement l'expérience aléatoire implicite : tu es bien d'accord qu'il faut bien tout d'abord "trouver" la personne qui vient du bon village, M ou B, puis le sexe du célibataire et refaire la même expérience aléatoire en calculant la proba de tirer l'autre personne dans l'autre village et qu'elle soit bien du sexe opposé ?

sotsirave · 17-12-2015 15:02:30

bonjour Freddy

J'en conviens: c'est ce que j'ai fait.
Mon univers U a 16 éléments, le tien, 10 (je crois).
Mais dans ton raisonnement (valeur de la probabilité), l' espace probabilisé n'est pas conforme au second axiome de Kolmogorov:
Pr(U) = 1; par contre le mien si: regarde, j'ai détaillé tous les cas possibles.
Evidemment, on peut probabiliser ton espace, mais alors, il faudra utiliser le mien pour calculer chaque probabilité.
Dans ce problème, ce n'est pas utile.
D'ailleurs, si n = 24, Pr(X)= 25% et si n = 1200, Pr(X) =24% à moins de 1 pour mille, ce qui fait environ le double de ton résultat.
D'où le facteur 2 qui intervient dans mon calcul.

Dernière modification par sotsirave (17-12-2015 15:03:56)

freddy · 18-12-2015 15:57:08

Salut,

je viens de mettre à jour mon calcul, je travaille mieux au bureau qu'à la maison :-)

▼une idée

C'est mon dernier mot, Jean-Pierre, et Kolmogorov est d'accord avec moi :-)

Dernière modification par freddy (18-12-2015 22:33:24)

freddy · 18-12-2015 19:48:11

Re,

j'en profite, je complète.

▼détails

Par ailleurs on vérifie bien que [tex]\Pr(B)=\frac{5}{8}[/tex] et [tex]\Pr(M)=\frac{3}{8}[/tex]

Plus sympa aurait été de compliquer le sujet en introduisant des hommes et des femmes mariés et de poser la même question.

@+

Dernière modification par freddy (18-12-2015 19:49:34)

freddy · 19-12-2015 11:56:29

sotsirave a écrit :

bonjour Freddy
J'en conviens: c'est ce que j'ai fait.
Mon univers U a 16 éléments, le tien, 10 (je crois).
Mais dans ton raisonnement (valeur de la probabilité), l' espace probabilisé n'est pas conforme au second axiome de Kolmogorov:
Pr(U) = 1; par contre le mien si: regarde, j'ai détaillé tous les cas possibles.
Évidemment, on peut probabiliser ton espace, mais alors, il faudra utiliser le mien pour calculer chaque probabilité.
Dans ce problème, ce n'est pas utile.
D'ailleurs, si n = 24, Pr(X)= 25% et si n = 1200, Pr(X) =24% à moins de 1 pour mille, ce qui fait environ le double de ton résultat.
D'où le facteur 2 qui intervient dans mon calcul.

Salut,

d'où vient ce 10 et d'où vient le "fois 2" ? Si tu arrives à m'expliquer, je comprendrais mon erreur, s'il y en a une.
Vérifie tes probas dans l'affichage de la réponse à la première question, je pense qu'il y a un "truc" qui cloche, genre "nouille dans le potage".

sotsirave · 19-12-2015 17:00:08

salut Freddy

En effet, j'ai permuté B et M mais le raisonnement est invariable; j'ai effectué la correction.
J'ai expliqué ensuite le facteur 2.

freddy · 19-12-2015 18:54:37

re,

non, non, il n' a pas d'ordre dans ton tirage, pas de rang d'apparition : là est ton erreur ! Réfléchis, tu vas en convenir.

sotsirave · 20-12-2015 11:47:46

Salut

Voyons ta proposition :

H_B inter F_M est un ensemble. Mais H_B et F_M étant disjoints, c’est le vide : Prob=0 : ça ne va pas.
C’est peut-être la paire{ HB ; FM }; mais dans ce cas la paire {H_B ; H_B} est le singleton{ HB } ! ça ne va pas non plus.
Il reste les couples( HB ; FM) et( FM ; HB) . D’où le facteur 2.

Il suffit de résoudre la question 2 pour s’en convaincre.

Remarque : Terces a trouvé également 23/96 ; on verra le détail de sa solution.

Bon weekend

Terces · 20-12-2015 15:50:18

Re,
J'ai trouvé 23/96 puis j'ai lu le calcul de freddy et j'était sur le point de dire qu'il avait raison mais je ne sais plus pourquoi je me suis dit que en fait pas forcément: En gros je suis une variable neutre...

Je vais tenter de retrouver pourquoi je me suis dit qu'il n'avait pas forcément raison et si cela s'avère fondé je vous tient au courant de mon humble avis^^

Pour ce qui est de mon calcul:

la probabilité d'une rencontre dans des villes différentes est selon moi 5/8*3/8 + 3/8*5/8 = 15/32
la probabilité de sexes différents je trouves 5/9*3/5 + 4/9*2/5 = 23/45
et le produit des deux me donne 23/96

Dernière modification par Terces (20-12-2015 16:31:42)

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