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Mouhcine

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Équation de la tangente à une courbe

Bonjour à tous,

Soit [tex]f(x)=x^3 + e^{x}[/tex] définie sur [tex]\mathbb R[/tex],
J'ai montré que [tex]f[/tex] est bijective de [tex]\mathbb R[/tex] vers [tex]\mathbb R[/tex]. Maintenant j'ai besoin de l'aide pour les deux questions suivante:
1) Calculer [tex]f^{-1}(\{1\})[/tex],
2) Donner l'équation de la tangente à la courbe de [tex]f^{-1}(\{1\})[/tex] en [tex]1[/tex].

Voilà ce que j'ai fait;  on a
1) [tex]f^{-1}(\{1\}) =\{ x \in \mathbb R; \, f(x)= 1\} = \{ x \in \mathbb R; \, x^3 + e^{x} = 1\} [/tex], mais je n'arrive pas à continuer.
2) la définition de l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse [tex]a[/tex] de la courbe d'une fonction [tex]g[/tex] est :
[tex]y = g '(a) (x - a) + g(a)[/tex], je voudrais appliquer cette définition à mon cas, mais on a pas l'expression de [tex]f^{-1}[/tex].

Merci d''avance

Dernière modification par yoshi (07-12-2015 11:05:00)

Fred

Administrateur

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Re : Équation de la tangente à une courbe

Salut,

1) Puisque tu as démonté que [tex]f[/tex] est bijective, tu sais que [tex]f^{-1}(\{1\})[/tex] est réduit à un unique élément. Il te suffit donc de trouver un réel [tex]a[/tex] tel que [tex]f(a)=1[/tex]. C'est vraiment facile en tatonnant et en essayant pour [tex]a[/tex] des valeurs faciles... Tu peux aussi t'aider d'un ordinateur ou d'une calculatrice.

2) Peut-être que tu as dans ton cours l'expression de la dérivée de la fonction réciproque en fonction de la dérivée de la fonction.
Sinon, tu peux partir de [tex] f (f^{-1}(x))=x[/tex]. En dérivant une fonction composée, on trouve :
[tex] (f^{-1})'(x)\times f'(f^{-1}(x))=x[/tex]... En remplaçant [tex]x[/tex] par 1 et en t'aidant de ce que tu as trouvé à la question précédente, c'est presque fini.

F.