Forum de mathématiques - Bibm@th.net

samuelm

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Determinant

Pourriez m'aider a résoudre cette question :

Soit M appartenant a Mn(R).Montrez que pour s au voisinage de 0 :

det(I+sM)=1+s(tr(M))+O(s2)

Roro

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Re : Determinant

Bonsoir samuelm,

Si tu notes [tex]P(s)=det(I+sM)[/tex] alors [tex]P[/tex] est un polynôme et [tex]P(s)=P(0)+sP'(0)+\mathcal O(s^2)[/tex].
Il "suffit" donc d'évaluer [tex]P(0)[/tex] et [tex]P'(0)[/tex].

Pour [tex]P(0)[/tex], c'est assez facile : [tex]P(0)=det (I)=1[/tex].

Pour [tex]P'(0)[/tex], une idée est d'utiliser le fait que le déterminant est n-linéaire. Ainsi, si tu notes [tex]M_i[/tex] les colonnes de [tex]M[/tex] et [tex]e_i[/tex] celles de la matrice Identité alors
[tex]P'(s) = \sum_{j} det(e_1+sM_1, ..., e_{j-1}+sM_{j-1}, M_j, e_{j+1}+sM_{j+1}, ...,e_n+sM_n)[/tex]
donc en évaluant en [tex]s=0[/tex], on obtient
[tex]P'(0) = \sum_{j} det(e_1, ..., e_{j-1}, M_j, e_{j+1}, ...,e_n) = \sum_{j} M_{jj} = Tr(M)[/tex].

Bon, je me rend compte que je ne t'ai pas vraiment aidé mais que j'ai complètement écrit une solution... dis moi si tu as tout compris !

Roro.

samuelm

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Re : Determinant

Apres avoir revu mon cours sur les fonctions a plusieurs variable j'ai compris votre réponse.

Merci