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pinet1998

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DM sur les suites complexes et limites

Bonjour, alors je n'ai pas du tout compris ce DM et j'ai impérativement besoin d'aide.

On considère la suite complexe Z définie par: z₀ est un nombre complexe donné et pour tout n appartient à N, z[_n+1 = z²_n
L'objectif de cet exercice est de déterminer pour quelles valeurs de z₀ cette suite ''reste bornée'' c'est à dire que la suite (m_n) est la suite réelle définie pour tout entier naturel n par m_n= valeur absolue de z_n
Remarque: Attention, on ne peut comparer deux nombres complexes, donc les mots majorés et minorés n'ont aucun sens pour la suite Z. Le caractère ''borné'' de Z est donc défini par le fait que la suite des modules des termes est bornée ( en fait, majorée car la suite des modules est toujours minorée par 0). Ainsi, dire que Z reste bornée revient à dire que les images des termes de la suite dans un repère (O, vecteur u, vecteur v) sont toutes contenues dans un cercle centré en O ( le rayon du cercle étant un majorant de la suite des modules)

1. Modifier l'algorithme suivant pour qu'il affiche les 15 premiers termes de la suite Z et leur module lorsque l'on saisit z₀ en entrée.

Déclaration des variables
  z est un nombre complexe
  i est un entier naturel
Entrée
  Lire z
Traitement
  Donner à i la valeur 0
  Tant que i<100 faire
              Donner à z la valeur z²
              Donner à i la valeur i+1
Sortie
  Afficher z

2. Avec Algobox, programmer l'algorithme modifié précedemment ( Attention, algobox ne gère pas les nombres complexes, ainsi un nombre complexe est stocké dans deux variables l'une correspondant à sa partie réelle et l'autre à sa partie imaginaire)

3. Ouvrir le lien que je peux envoyer par mail ou message privé. a. Saisir dans zone de saisie: z_0^2. Vous consaterez que geogebra contrairement à algobox, Geogebra gère les nombres complexes et qu'il représente un nombre complexe dans le plan par son image.
b. Construire ainsi les 10 premiers termes de la suite Z et leurs images.
c. En déplaçant, le point A conjecturer l'ensemble des points A pour lesquels la suite des modules reste bornée. Pour vous aider, il pourrait être utile d'afficher le cercle de centre O et de rayon valeur absolue de z₀ en cochant la case ''Cercle''.
Justification de la conjecture

4.a. Justifier que lorsque valeur absolue de z₀ = 1 ou lorsque valeur absolue de z₀ = 0 la suite (m_n) est constante.
b. Démontrer par récurrence que lorsque 0< valeur absolue de z₀< 1, la suite (m_n) est strictement décroissante. Etant donné que la suite (m_n) est minorée par 0, on pourra démontrer plus tard dans l'année que la suite (m_n) converge ce que l'on admet ici.
c. Démontrer par récurrence que lorsque valeur absolue de z₀>1, la suite (m_n est strictement croissante. On pourra démontrer plus tard dans l'année que la suite (m_n) diverge vers + l'infini ce que l'on admet ici.
d. Conclure concernant le caractère ''borné'' ou non de la suite (z_n) en fonction de z₀

J'envoie le lien de la question 3 dès que j'y arrive ! Je vous remercie d'avance

Dernière modification par pinet1998 (31-10-2015 15:21:42)

yoshi

Modo Ferox

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Re : DM sur les suites complexes et limites

Salut,

Bienvenue chez nous.
z=a+ib
1. Déclaration des variables
  z est un nombre complexe
  j est un entier naturel
Entrée
  Lire z
Traitement
  Donner à j la valeur 0
  Tant que j<15 faire
              Donner à z la valeur z²
              Calculer le module de z
              Donner à j la valeur j+1
              Afficher z
              Afficher le module

2. Alors AlgoBox n'est pas vraiment fait pour ça, et comme les nombres croissent très très vite, il plante très vite, je me suis limité à z₆:
    Sortie :

***Algorithme lancé***
Entrer a : 1
Entrer b : 2
z0 = 1+(2)i
z1 = -3+(4)i
z2 = -7+(-24)i
z3 = -527+(336)i
z4 = 164833+(-354144)i
z5 = -9.8248055e+10+(-1.1674924e+11)i
z6 = -3.9777038e+21+(2.2940771e+22)i

***Algorithme terminé***

Mon code :

J'ai dû créer une variable aa supplémentaire qui me sert à stocker la valeur de a avant sa modif...
Sinon, comme je calcule le a de z² avant le b, pour le nouveau b, au lieu d'utiliser l'ancien a, j'utiliserais... le nouveau.
La variable chaîne nbc me sert juste à stocker le message "z₀ = ", "z₁ = ", "z₂ = ", etc.
C'est pour faire joli...
Je me suis abstenu du calcul du module des complexes z_j.
Je n'ai pas utilisé une boucle TANT QUE mais une boucle POUR qui présente un avantage : elle gère toute seule l'avance de son compteur que j'ai appelé j et pas i parce que i, pour moi, est réservé aux complexes...

Je n'ai pas calculé les modules.
Chaque module s'obtient dans la boucle, après calcul de a et de b : m=sqrt(pow(a,2)+pow(b,2))

Voilà pour ce soir.

@+