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sotsirave

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suspects

Bonsoir

Un crime a été commis à Londres; à Scotland Yard, notre inspecteur interroge deux suspects .

Sherlock Holmes
« Richard et John, voyons votre histoire s'il vous plaît.

Richard
« je suis parti à pied à 8 heures du matin de Greet Dover Street (GDS) en direction de Weaver Fields (WF) à vitesse constante.

Et vous John ?
« Je suis également parti à pied de Weaver Fields à vitesse constante, mais vingt minutes avant Richard et j'ai emprunté les mêmes rues. »

Sherlock
« Ok, vous traversez la tamise large de 200 m sur le Victoria  Bridge*. Continuez Richard »

Richard
« Oui, nous nous retrouvons au même moment de part et d'autre de la tamise à chaque entrée du pont. Nous nous croisons, puis, je  quitte le pont 1 minute après John  »

Sherlock
« A vous John »

John
« Arrivé à Greet Dover Street, j'ai fait une halte de 20 minutes avant de repartir vers Weaver Fields. »

Sherlock
« Richard, vous êtes arrivé à Weaver Fields un quart d'heure après le départ de John de Greet Dover Street et fait immédiatement demi-tour pour rentrer chez vous. »
« Vous vous ètes croisés de nouveau à 2 kilomètres de l’entrée du pont et vous avez  bavardé ensemble un quart d'heure. »
« Ensuite Richard ? »

Richard
« Je suis reparti et fait une nouvelle pause d'un quart d'heure sur le pont pour admirer le paysage avant d'arriver à  Greet Dover Street à 11h. »

Sherlock
« Confirmez-vous ces faits ? »

Richard et John
« Oui inspecteur »

Sherlock
« S’il vous plaît Watson, pouvez-vous vérifier les dépositions de Richard et John ? »**

Après de très longues minutes, le docteur Watson remet à Holmes le résultat de ses calculs.

Holmes place alors les suspects en garde à vue***. Pourquoi?

*ou George III, je ne sais plus.
**chacun sait que Holmes n’est pas très fort en calculs
*** Mais oui, c'est bien une invention des Anglais!

freddy

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Re : suspects

Salut,

tu pourrais nous joindre un schéma du parcours, stp ?

---

De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

jpp

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Re : suspects

salut.

▼une proposition

après lecture de l'interrogatoire , on déduit que Richard arrive à WF à  9h 15min puisque sa promenade a duré 3h et qu'il
s'est reposé 30 min ( 2 quarts d'heures)
John arrive , lui , à GD  35 min avant l'arrivée de Richard à WF . c'est à dire à 8h 40min.
John ne s'étant pas arrêté  non plus lors de sa première traversée a bouclé cette dernière en 8h 40min - 7h 40min = 1h
Le rapport des vitesse est donc  :
                                        [tex]k =\frac{V_{j}}{V_{r}} = \frac54 = 1.25[/tex]

Avec les infos concernant la première rencontre sur le pont , on déduit les vitesses de chacun .

[tex] V_{r} = 12\times{\frac{k-1}{k}} = 2.4 km/h[/tex]

[tex] V_{j} = 12\times{(k-1)} = 3 km/h[/tex]

On en déduit immédiatement la distance séparant GD de WF  :  d = 3km
et lorsque John a quitté le pont Richard est à 40m de la fin du pont. puisque qu'il lui faut 1min à 2.4km/h
on peut placer le pont aussi . A 8h , lorsque Richard démarre de GD , John est déjà à 1km de son point de départ WF .
Les amis ne sont plus séparés que de 2km . ils auront 2.160 km  au total  à parcourir jusqu'au moment où John quittera

le pont. ( richard est à 40m de l'autre bout du pont).  Il est alors:

[tex]   8h + \frac{2.160}{3+2.4} =  8h 24min          [/tex]   

une minute plus tard , donc à 8h 25min Richard quitte le pont à son tour. A ce moment là il lui reste 50 min pour atteindre WF.

comme il marche à 2.4 km/h .  Il se situe donc à :

[tex] 2.4\times { \frac{5}{6} } = 2 km de WF [/tex]  .

le pont se situe donc à  2km de WF  et à 800 m de GD.
Quand Richard repart de WF  , il est  9h 15min  ; et quand John quitte GD  , il est 9h . Alors en 15 min John a déjà parcouru 750m.
Les 2 amis sont alors séparés de 2.250 km et vont alors se croiser à:

[tex] 9h15 + \frac{2.25}{5.4}  = 9h 40min  [/tex]

Richard sera alors éloigné de [tex] 2.4\times{\frac{25}{60}} = 1km [/tex] de WF  et la discussion  aura lieu à 2km de GD . mais aussi
à 2km du pont . Le pont mesure 200m

Il y a donc une incohérence .  A l'aller , le pont est à 800 m de GD et 2000m de WF.

                                                   Au retour , le pont est à 3 km de WF  , et 3 km est aussi la distance qui sépare GD de WF.

Le pont est dans GD

Sauf erreur de ma part.

sotsirave

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Re : suspects

Bonjour Freddy

C'est tout simple

  Richard--->Vr                   Pont                                                                     Vj < - - John           
GDS_________________P1_______P2__________________________________________________WF

sotsirave

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Re : suspects

bonjour Jpp
Watson me dit que ses calculs montrent une distance de GDS à WF supérieure à 3 km... sauf erreurs!

jpp

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Re : suspects

salut.

▼sotsirave

ce ne serait pas plutôt le Tower bridge , parce que le Victoria bridge est à Montréal. le tower bridge fait plus de 200 m , la tamise étant large de 280m à cet endroit.  GD - WF  par tower bridge donne 3.5 miles par les grandes avenues.

sotsirave

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Re : suspects

bonjour Jpp

J'ai précisé que je n'était pas sûr du nom du pont mais la tamise a bien 200m à cet endroit me susurre Holmes.

jpp

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Re : suspects

salut.

▼demande à Watson

dis moi où le bât blesse. je détaille mes calculs.

A) le voyage aller.

a) si toutes les heures et les durées données lors des dépositions sont exactes , alors de 8h à 11h , Richard ne s'arrêtant qu'une

demi-heure aura marché 2heures et demi soit 1h 15min de marche pour chaque étape. Il arrive donc à WF à 9h 15min

b) John , lui , part 20 min avant Richard et il est 7h 40min , ne s'arrête pas  et arrive à GD , se repose 20min et repart 15min

avant l'arrivée de Richard à WF (9h 15min) .  Il est donc arrivé à GD à  9h 15min -  35min =  8h 40min.

son temps de parcours est donc d'une heure . Et comme les 2 premiers parcours se sont déroulés sans pause, alors le rapport k

des vitesses est  1.25 , le plus rapide étant John.

c) maintenant je calcule les vitesses de chacun. 

  Lorsque les 2 amis se retrouvent en même temps aux 2 bords de la tamise , ils sont séparés de 0.2 km (si largeur du fleuve=

longueur du pont)  . On sait aussi que Richard va marcher 1 min de plus que son ami sur le pont. d'où l'équation de temps:

t  est le temps de traversée de Richard , Vr est sa vitesse et k est le rapport des vitesses .

[tex]   t = \frac{0.2}{Vr}  = \frac{1}{60}  + \frac{0.2}{k.Vr} = \frac{k.Vr + 12}{60k.Vr}[/tex]

on en déduit Vr :

[tex]  Vr = 12\times{\frac{k-1}{k}}  [/tex]

comme k = 1.25 alors Vr = 2.4 km/h  et Vj = 3 km/h .

d) la distance WF - GD   :  En une heure de trajet , John marchant à 3km/h aura donc parcouru 3 km.

Et lorsque Richard commence sa promenade  à 8 heures , john a déjà parcouru  1 km puisqu'il a marché 20 minutes à 3km/h.

A 8 heures  2 km séparent les deux amis. On peut donc déterminer à quelle heure Richard s'est retrouvé seul sur le pont.

_ tout d'abord  il lui restait  40 m de pont à parcourir .    2.4   x  1 / 60 = 0.04 km

entre 8 heures et ce moment précis , les deux amis ont parcouru à eux deux  2.160 km.

il est alors précisément :

                                           [tex]   8h + \frac{2.160}{3+2.4} =  8h 24min          [/tex]   

une minute plus tard , donc à 8h 25 min , Richard quitte le pont . Son arrivée à WF se produisant à 9h 15min , il lui reste

donc 50 min de marche . On en déduit la distance séparant le pont de WF.

               [tex] 2.4\times { \frac{50}{60} } = 2 \text{km de WF} [/tex]

Le pont mesurant 200m se situe donc à 800 m de GD.  Leur rencontre s'effectue à 8h 22min 13.333s ; et Richard à parcouru 88.8888m

sur ce pont.

B ) Le voyage retour.

-  Quand Richard repart de WF il est 9h15 (pas de pause) ; John , lui ayant marqué une pause de 20min , repart à 9h de GD . En un quart

d'heure il a donc déjà parcouru 750m ; et à ce moment là R & J  sont séparé de 2.250 km.  Ils se croiseront donc à

                       [tex] 9h15 + \frac{2.25}{5.4}  = 9h 40min  [/tex]

A 9h 40 , heure de rencontre Richard aura marché 25min et  parcouru depuis WF : 

                                           [tex] 2.4\times{\frac{25}{60}} = 1km [/tex]   

John quant à lui ,ayant quitté GD à 9h il aura parcouru :

                                           [tex]3\times{\frac{40}{60}} = 2 km[/tex]

conclusion : la discussion a lieu à 1km de WF et à  1km du pont ;  mais comme ils ont signé la déposition spécifiant que leur seconde rencontre a eu lieu à 2 km du pont , Watson en a conclu qu'il y avait comme un lézard  .

   

sotsirave

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Re : suspects

bonjour Jpp

▼ d'après Watson

le pont est plus long que la largeur de la tamise

jpp

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Re : suspects

salut.

▼longueur du pont

la longueur du pont donne toutes les autres longueurs et vitesses. les temps eux ne changent pas.
alors les dépositions sont exactes avec un pont de longueur 400m  et Vr = 4.8km/h , Vj = 6 km/h  et WF-GD = 6km

en partant avec une longueur de pont de 300m  alors les vitesses sont Vr = 3.6km/h , Vj = 4.5 km/h  WF-DG = 4.5km  et la
seconde rencontre aura lieu à 1.5 km du pont .

sotsirave

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Re : suspects

bonjour Jpp

En effet c'est bien la longueur du pont.
Mais Holmes n'est pas de ton avis. Il trouve un peu long ce pont et après confirmation,
fait rapidement avouer les deux suspects.

PointMathematique314

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Re : suspects

Bonjour

Je pense que la solution ne dépend pas de la longueur du pont, on peut sans trop de calculs compliqués démontrer le mensonge :

▼Texte caché

D'abord on trouve facilement que John met 1H pour parcourir le trajet sans s'arrêter et Richard 1h30.(même raisonnement que jpp).
Ensuite en reprenant dès le début :
John part 20 minutes avant Richard donc il aura fait 1/3 du trajet quand Richard démarre.
John va un peu plus vite que Richard, donc quand ils vont se croiser John aura parcouru un peu plus que 2/3 du trajet en tout.
il lui restera donc un peu moins de 20 minutes pour arriver, tandis que Richard doit parcourir encore un peu plus de 2/3 de trajet (ce qui fait pour lui un peu plus d'1H).
John patiente 20 minutes, il repart donc un peu moins de 40 minutes après avoir croisé Richard,or Richard affirme être arrivé 15 minutes après le départ de John ce qui lui ferait un peu moins de 55 minutes ce qui est en contradiction avec les 1H et des poussières qui lui sont nécessaires.

Je ne me sers pas de la longueur du pont, de l'arrivée en même temps aux extrémités du pont, du temps de traversé du pont de Richard qui est supérieur d'une minute, du 2ème croisement à 2km du pont (en réalité le pont ne sert à rien) et  je ne calcul aucune vitesse ni distance.

.
Donc pour moi, même avec un pont plus long ou plus court les dépositions ne peuvent pas êtres exactes.

sotsirave

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Re : suspects

Bonjour PM314

▼Timing

je cite :"Je ne comprends pas l'addition des  moins de 40 min de John et de 15 min de Richard alors que nos deux suspects ont des vitesses différentes ".

Avec les données du timing de nos suspects:

Départ 7h40 pour John et 8h pour Richard au moment où John est à 4km de lui.
Arrivée aux entrées du pont à 8h20. Ils se croisent à 8h 22 min 13 s sur le pont.
John le quitte à 8h 24 min et Richard à 8h 25 min.(1 min plus tard)
John arrive à 8h 40 min à GDS, s’arrête 20 min puis repart à 9h pour arriver à 9h 15 Min  à 1,5 km de GDS au moment ou Richard arrive à WF .
Durée  pour John entre le 1èr croisement et l’arrivée de Richard à WF:
17 min 47 + 20 + 15 = 52 min 47s à moins de 1s près.
Durée  pour Richard  entre le 1èr croisement et son arrivée de à WF : 52 min 47s

« Il n’y a donc pas de contradiction en tenant compte des affirmations de nos deux compères » me dit
Sherlock Holmes

Ensuite ils se croisent pour la 2ième fois à 9h 40 min à 4km de GDS et à 2 km de l’entrée WF du pont.
Enfin John arrive à WF à 10h et Richard à 11h.

Ils ont menti sur la durée de traversée du pont.(si la distance RJ de GDS à WF est de 6 km).

« Cette distance doit être difficile à mesurer car nos suspects n’ont pas donné les rues arpentées dans London » me dit Watson.]

PointMathematique314

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Re : suspects

bonjour

je réponds rapidement faute de temps :

▼Texte caché

Bonjour PM314

Départ 7h40 pour John et 8h pour Richard au moment où John est à 4km de lui.
Arrivée aux entrées du pont à 8h20. Ils se croisent à 8h 22 min 13 s sur le pont.
John le quitte à 8h 24 min et Richard à 8h 25 min.(1 min plus tard)
John arrive à 8h 40 min à GDS, s’arrête 20 min puis repart à 9h pour arriver à 9h 15 Min  à 1,5 km de GDS au moment ou Richard arrive à WF .
Durée  pour John entre le 1èr croisement et l’arrivée de Richard à WF:
17 min 47 + 20 + 15 = 52 min 47s à moins de 1s près.
Durée  pour Richard  entre le 1èr croisement et son arrivée de à WF : 52 min 47s

oui 52 minutes. (ce que j'appelle "un peu moins de 40+15=55 minutes" sans calculer précisément)
mais aussi :  richard mets 1H30 pour le trajet, s'ils se croisent à 8h22 (départ 8h) il lui faut encore 1h08  (ça correspond à ce que j'ai appelé "un peu plus d'une heure")
là est la contradiction.

jpp

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Re : suspects

salut.

Richard traverse en 1h15min  et non en 1h30min. il me semble .

PointMathematique314

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Re : suspects

bonsoir

salut.

Richard traverse en 1h15min  et non en 1h30min. il me semble .

Exact, ça m'apprendra à répondre trop rapidement.

Je ne sais pas pourquoi j'avais pris 1h30.
Du coup je vais revoir mon raisonnement en prenant le temps d'y réfléchir cette fois ci mais effectivement ça ne colle plus.

A+
YP

freddy

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Re : suspects

Salut,

je tente une réponse, je n'ai regardé aucune autre réponse, cachée ou pas.

▼une piste

Des déclarations de Richard, on déduit :
Richard a marché durant 3h - 30 min, soit 2H30', et donc a parcouru l'aller en 1H15', puisqu'ils marchent tous deux à vitesse constante.
On en déduit que John a quitté GDS à 8H40', et donc qu'il y est arrivé à 8H20', soit après une heure de marche.

Donc John marche 1,25 fois plus vite que Richard.

Soit T la durée en minutes de la traversée du pont de la Tamise pour John. Richard a donc eu besoin de [tex]T+1'[/tex]. Puisque [tex]\frac{T+1}{T}=1,25[/tex], alors [tex]T=4[/tex].

On en déduit les vitesses respectives, en mètres par minute :
[tex]V_J=\frac{200}{4}=50\; m/min[/tex]
[tex]V_R=\frac{200}{5}=40\; m/min[/tex]

De là, on conclut que le parcours fait 3.000 m, que le pont est à 800 m de GDS et à 2.000 m de WF.

Et c'est là où nos compères mentent, car ils ne peuvent, dans leur marche retour, se croiser à 2.000 m de l'entrée de pont de la Tamise, puisque ce serait à WF ... et que Richard n'y est plus.

T'en penses quoi, l'ami ?

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sotsirave

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Re : suspects

Bonjour Freddy

Je pense que ça se tient sauf si la longueur du pont au dessus de la tamise n'est pas 200m.

freddy

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Re : suspects

Re,

quand on donne la largeur d'un fleuve au dessus duquel passe un pont, le bon sens commun veut que ce soit la longueur qui permet de franchir le fleuve à pied sec, non ?
Sinon, le sujet, que je trouve marrant, manque de précision.
A te lire :-)

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yoshi

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Re : suspects

Ave,

Selon Wikipedia :

Par pont, il convient en fait d’entendre « franchissement », car un pont est souvent constitué de plusieurs ouvrages : un ouvrage principal, ou pont principal, et des ouvrages secondaires (comme les viaducs d’accès).

On différencie ainsi trois types de longueurs :

    * La longueur du franchissement, communément appelée longueur totale du pont, définie comme étant la distance entre les joints de chaussée extrêmes, s’il en existe, ou comme la distance entre nus intérieurs des culées plus un mètre ;
    * La longueur de l’ouvrage ou d’un ouvrage constituant le pont, il s’agit des mêmes définitions que ci-dessus mais s’appliquant à une partie du pont ;
    * La longueur de la brèche est la longueur minimale du franchissement à reconstruire, résultant de la largeur de l’obstacle à franchir.

@+

---

Arx Tarpeia Capitoli proxima...

sotsirave

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Re : suspects

bonjour

Holmes parle de la largeur de la tamise.
Il est rare que la longueur d'un pont soit exactement la largeur du cours d'eau qu'il enjambe.
Il a cependant envoyé Watson pour confirmer les calculs.

sotsirave

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Re : suspects

Bonjour Yoshi

Merci de cette définition que Sherlock Holmes n'a certainement pas connue, Internet n'existait pas, et je doute qu'il ait consulté une encyclopédie pour inculper nos deux lascars.
De toute façon que la longueur du pont soit 200 ou 400m, il y a une contradiction dans les deux cas.
Jpp m'a fait remarqué qu'en réalité le pont est le Tower Bridge  long de 244m (il m'indique que la tamise a 280m de largeur à cet endroit : je le soupçonne d'être de mèche avec les suspects...)

jpp

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Re : suspects

salut.

@sotsirave.  il n'y a pas de contradiction pour un pont de 400 m et c'est le seul cas . démontre moi le contraire stp.
ou plutôt donne moi la démo de Watson . c'est celle là qui m'intéresse.

freddy

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Re : suspects

salut.

@sotsirave.  il n'y a pas de contradiction pour un pont de 400 m et c'est le seul cas . démontre moi le contraire stp.
ou plutôt donne moi la démo de Watson . c'est celle là qui m'intéresse.

Salut,
en effet, je confirme. Et que dit alors PM314, puisqu'il affirme que peu importe la longueur du pont pour établir la tricherie.
Très curieux de connaître le dénouement !
Juste une petite remarque : avec une longueur de pont de 200 m, nos amis ont sûrement plus de 65 ans ; avec un pont de 400 m, l'un des deux est un vif argent et l'autre marche à une vitesse normale pour une homme en bonne santé entre 30 et 40 ans.

Dernière modification par freddy (09-11-2015 22:18:48)

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

sotsirave

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Re : suspects

Bonjour Jpp

Les suspects ont été confondus par la longueur du pont, calculée selon leurs déclarations, d’au moins 200 m et non pas exactement 200 m.
Son calcul ne présente pas un grand intérêt: un système linéaire à la portée d’un lycéen si c’est cela que tu veux.
Le voici :

▼système

        R--->Vr    a                    b                           2km                    c                                         Vj < - - J           
GDS________________P1__X_____P2________________________X__________________________WF
                      1er croisement X                               Second croisement X
                                                                 d

On désigne respectivement par a, b, c, d, Vr et Vj, les distances de GDS à l’entrée du pont P1du côté de GDS, la longueur du pont,  la distance de l’entrée du pont P2 du côté de WF  à WF, la distance de GDS à WF, la vitesse de Richard et la vitesse de John. Unité de temps, l’heure et unité de distance le km.

1)    L’énoncé montre que Richard fait l’aller d en 1h ¼  et John en 15 min de moins soit en 1h.
Les vitesses sont dans le rapport Vj/Vr = 5/4 et d = a + b + c = Vj = 5Vr/4

2)    La 1ère afffirmation de John et  2ième affirmation de Richard : a/Vr = c/Vj – 1/3 et  b/Vr = b/Vj + 1/60    (1ère traversée du pont)

3)    Affirmation de Richard ( le second croisement) : (a + b + 2)/Vj = (c -2)/Vr  +  1/4

Le timing a été vérifié dans un post précédent.

Maintenant, à quel endroit  y a-t-il un mensonge ?, je n’y ai pas réfléchi…
Quand à la vitesse de John, elle est un peu élevée, mais il se repose 2 fois à GDF 20 min et avec Richard, 15 min.
ça parait logique...

Dernière modification par sotsirave (10-11-2015 19:58:34)