Forum de mathématiques - Bibm@th.net

neodole

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Suite récurrente

Bonjour à tous,

Je rencontre un problème pour démontrer la majoration d'une suite récurrente.

Mon problème est le suivant:
Soit une suite u_n+1=(n+u_n)/n² avec u1=1

Démontrer que u_n<=2.

J'ai utilisé une démonstration par récurrence. La condition initiale étant démontré puisque u1<=2 ensuite je cherche à vérifier la condition de majoration au rang n+1...mais là je bloque puisque j'obtiens:
u_n<=2
u_n+n<=2+n
(u_n+n)/n²<=(2+n)/n².....

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider? Je me suis arraché les cheveux sur ce problème. Je commence à perdre patience...j'ai l'impression d'être débile.

Merci d'avance

freddy

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Re : Suite récurrente

Salut,

et pourtant, tu as tout fait et tu touches au but.

Tu es d'accord que, dans ta récurrence, [tex]n \ge 2[/tex] ?
Que peux-tu alors dire de [tex]\frac{2+n}{n^2}[/tex] ?

yoshi

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Re : Suite récurrente

Bonsoir,

Bienvenue à bord !
Effectivement...
Bon, alors une idée comme ça pour faire dans le non-classique :
montrer que la suite (U_n) est décroissante.
Ainsi l'héritage se fait via
[tex]U_n \leq 2[/tex]
[tex]U_{n+1}\leq U_n[/tex]
Donc [tex]U_{n+1}\leq 2[/tex]

Je l'ai fait en montrant que [tex]\frac{U_{n+1}}{U_n} \leq 1[/tex]
J'avais essayé avec [tex]U_{n+1}-{U_n}[/tex] mais je n'ai pas abouti...
Pour autant que montrer la décroissance ne soit pas une question ultérieure...

@+

freddy

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Re : Suite récurrente

Re,

Puisque [tex]n \ge 2[/tex], alors [tex]\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n} \le \frac{1}{2}+\frac{1}{2} = 1 \lt 2[/tex]

Donc l'hérédité est établie et le résultat aussi.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Suite récurrente

Re,

@freddy: Effectivement, c'est plus simple : je n'avais même pas vu ton post, ni pensé que n>=2... Il est temps que je tire ma révérence pour aujourd'hui.

@+

neodole

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Re : Suite récurrente

Bonsoir,

Merci pour votre aide. Il me manquait pas grand chose au final juste une petite condition...c'est rageant quand je vois le temps que j'ai passé à me prendre la tête sur ce problème.

Merci encore et bonne soirée

freddy

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Re : Suite récurrente

Re,

reviens quand tu veux :-)