Forum de mathématiques - Bibm@th.net

vrouvrou

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Petit exercice

Bonsoir,

J'ai ce petit exercice:

1) Peut on trouver deux ensembles différents [tex]A,B[/tex] d'un espace topologique [tex]E[/tex] tel que [tex]A'=B'[/tex].
2) Si [tex]A[/tex] est dense dans E est ce que cela veut dire que [tex]\overset{\circ}{A} =\emptyset[/tex].

J'ai pris [tex]E=\{a,b,c,d,e\}[/tex] muni de la topologie [tex]\theta=\{\emptyset,\{a\},\{c,d\},\{a,c,d\},\{b,c,d,e\},E\}[/tex]

pour la première question, j'ai pris [tex]A=\{a,b,c\}[/tex] et [tex]B=\{c,e\}[/tex] et j'ai obtenu que [tex]A'=B'=\{b,d,e\}[/tex]

pour la deuxième question j'ai pris [tex]A=\{a,c\}[/tex] dans ce cas je trouve que [tex]\overline{A}=E[/tex] et [tex]\overset{\circ}{A}=\{a\}
[/tex]
Est ce que c'est juste ce que j'ai fait? y a t-il d'autre méthode pour rependre plus juste et plus explicite s'il vous plait ?

Merci

Fred

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Re : Petit exercice

Salut,

  Peut-être que c'est correct ce que tu as fait (en fait, c'est sûrement correct!). Le problème, c'est que cela ne me parle pas! Je veux dire, ce n'est pas une topologie que l'on visualise. Moi je prendrais plus simplement [tex]E=\mathbb R[/tex] muni de sa topologie usuelle, et par exemple pour la première question, [tex]A=\{0\},\ B=\{1\} [/tex] et pour la deuxième question, [tex]E=\mathbb R[/tex].

F.

Roro

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Re : Petit exercice

Bonsoir vrouvrou,

Je suis d'accord avec ton second exemple (point 2).
Par contre je ne comprend pas le premier : qu'est ce que A' lorsque E n'est pas un espace vectoriel ?

Roro (grillé par Fred qui a répondu pendant que j'écrivais...)

vrouvrou

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Re : Petit exercice

@Roro: [tex]x\in A'\Longleftrightarrow \forall V\in\mathcal{V}_x, V\setminus\{x\}\cap A\neq\emptyset[/tex]

@Fred: Comment on trouve les élément de [tex]A' =B'=\emptyset[/tex] n'est ce pas ? mais pour la 2éme question je sais que [tex]Q[/tex] est dense mais son intérieur est égale à [tex]\emptyset[/tex].

Merci

Fred

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Re : Petit exercice

Pour 1. oui.
Pour 2. il suffit de prendre [tex]A=E=\mathbb R[/tex]...