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#1 20-10-2015 20:14:03
- Texaslol
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Analyse
Bonjour je viens actuellement d'entré en première année de classe préparatoire et j'ai un devoir à rendre voici l'énoncé:
Exercice 1 :
k et m sont deux entiers non nuls. n est un entier. Soit la fonction :
Fk : R ==>R, x==>Fk(x)= (1-kx)exp(kx) . On considère Sk,n = {x ∈ℝ, Fk(x) = n} et
Nk,n = Card(Sk,n) (Card désignant le nombre d’éléments de l’ensemble)
On note SHm l’ensemble des fonctions réelles (x ==> y(x)), deux fois dérivables sur IR, qui vérifient l’équation différentielle (Hm) : my’’ -2 m2 y’ + m3 y = 0
On note Sm l’ensemble des fonctions réelles (x ==> y(x)), deux fois dérivables sur IR, qui vérifient l’équation différentielle (Em) : my’’ -2 m2 y’ + m3 y = exp(2x)
1. Etudier Fk (tableau de variations et limites) en fonction de la valeur de k
2. Déterminer Sk,1 en fonction de k
3. Déterminer Sk,0 en fonction de k
4. Déterminer Nk,k en fonction de k
5. Déterminer SHm
6. Déterminer Sm (Attention à bien distinguer les cas, en fonction de m)
7. Dans le cas m = 2, déterminer la fonction y2 solution de (E2) et vérifiant y2(0)=y2’(0)=0
8. Dans le cas m ≠ 2, déterminer la fonction ym solution de (Em) et vérifiant ym(0)=ym’(0)=0
9. Dans le cas m ≠ 2, montrer que pour tout x réel : ym(x)= A exp(2x) [1- FB(x)], où A et B sont des constantes que l’on déterminera en fonction de m
10. En déduire que si m ≠ 2, ym est de signe constant sur IR
Pour débuté j'ai commencer par dérivé Fk, fait le tableau de variation et déduit les limites en prenant 2 cas distincts: k<0 et k>0.
Je voudrais avoir vos avis et de l'aide si possible pour la suite de l'exercice.
Merci d'avance.
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#2 20-10-2015 21:03:16
- Fred
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Re : Analyse
Bonsoir,
C'est un bon dessus. Je vais te donner un coup de pouce pour les questions 2,3 et 4.
Tu dois t'aider du tableau de variations. Il te donnera le nombre de solutions à chaque équation. Et ensuite, tu devras trouver des solutions "évidentes".
A+
F.
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#5 21-10-2015 20:59:57
- Texaslol
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Re : Analyse
Bonsoir,
C'est un bon dessus. Je vais te donner un coup de pouce pour les questions 2,3 et 4.
Tu dois t'aider du tableau de variations. Il te donnera le nombre de solutions à chaque équation. Et ensuite, tu devras trouver des solutions "évidentes".A+
F.
Doit-on utilisé le Théorème des valeurs intermédiaires ou le Théorème de bijection Monotone pour ces questions? Svp
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#6 21-10-2015 21:15:38
- Fred
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Re : Analyse
Si tu veux compter exactement le nombre de solutions, tu es obligé d'utiliser le deuxième théorème. Le premier ne te dira juste qu'il existe au moins une solution dans un intervalle donné. Le second te dit qu'il existe exactement une solution.
F.
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#7 21-10-2015 21:31:17
- Texaslol
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Re : Analyse
Si tu veux compter exactement le nombre de solutions, tu es obligé d'utiliser le deuxième théorème. Le premier ne te dira juste qu'il existe au moins une solution dans un intervalle donné. Le second te dit qu'il existe exactement une solution.
F.
D'accord merci parce que j'ai trouver les ensembles de solutions qui sont: Sk,1={0} et Sk,0={1/k}
Mais je ne s'avais pas s'il fallait absolument utiliser le théorème de bijection car ça ce voit dans le tableau de variation qu'il existe une unique solution.
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#10 21-10-2015 23:07:47
- Fred
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Re : Analyse
Oui, je crois que c'est la même chose. La différence, c'est que tu ne trouveras pas les solutions exactes (parce qu'il n'y a pas de solutions évidentes). Tu trouveras simplement avec le tableau de variation le nombre de solutions.
F
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