Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Ninine

Membre

Inscription : 14-03-2015

Messages : 6

Fonction: Faire le bon choix.

Bonjour tout le monde ! J'essaie de faire mon dm depuis maintenant 3 jours mais je galère toujours autant... J'ai réussis la question 1 mais je pense avoir faux car je ne peux répondre aux autres questions ! Quelqu'un saurait-il m'aider ? Merci !

Soit les fonctions f et g définies sur R par:
f(x)=(x-3)(2x+1)-(x-3)² et
g(x)=(x-1)²-4.

1) développer et factoriser f(x) et g(x)
2) choisir l'expression la plus adaptée de f(x) ou g(x) pour répondre aux questions suivantes.
A) déterminer les images par f et par g des nombres suivants: [tex]3\;;\;\sqrt 3+3[/tex]
B)déterminer les antécédents de 0 par f et par g.
C) résoudre dans R les équations:
f(x)=3g(x) et g(x)-f(x)=7
D)résoudre dans R l'inéquation suivante:
f(x)+12≤g(x)+3

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 403

Re : Fonction: Faire le bon choix.

Bonjour,

Bienvenue chez nous...
Je m'absente. Je repasse d'ici 2 h.
Vite fait :
[tex]f(x)=(x-3)(2x+1)-(x-3)^2 =(x-3)[(2x+1)-(x-3)]=(x-3)(2x+1-x+3)=(x-3)(x+4)[/tex]
[tex]g(x)=(x-1)^2-4 =(x-1)^2-2^2=(x-1-2)(x-1+2)=(x-3)(x+1)[/tex]

@+

Ninine

Membre

Inscription : 14-03-2015

Messages : 6

Re : Fonction: Faire le bon choix.

Merci beaucoup !
Je viens de me rendre compte que j'ai fais une erreur sur g(x), c'est sûrement pour ça que je bloquais !

Merci !

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 403

Re : Fonction: Faire le bon choix.

Re,

Si tu as découvert une erreur : c'est bien... de l'avoir trouvée !
Développements.
[tex](x-3)(2x+1)-(x-3)^2 =2x^2+x-6x-3-(x^2-x+9)=2x^2-5x-3-x^2+6x-9=\cdots[/tex]
Tiens, au passage, une petite astuce : je vais développer f(x) à partir de sa forme factorisée...
[tex]f(x)=(x-3)(x+4)=x^2+4x-3x-12 = x^2+x-12[/tex] résultat qui est le même que celui trouvé ci-dessus : donc la factorisation et le développement sont justes.

[tex]g(x)=(x-1)^2-4 = x^2-2x+1-4 = x^2-2x-3[/tex]
Même essai :
[tex]g(x)=(x-3)(x+1)=x^2+x-3x-3=x^2-2x-3[/tex]. C'est bon aussi...

Question 2
A
Par "la plus adaptée", il faut comprendre celle qui te donnera le moins de calculs à faire, donc le moins de "chances" d'erreur...

Pour x=3, pour g et f, c'est clairement la forme factorisée puisque x -3 = 0 et que [tex]0 \times ?? =0[/tex] et que je moque bien de ce qui se cache sous les ??...
Pour [tex]x =\sqrt 3 + 3[/tex]
je prendrais aussi la forme factorisée de f
et pour g : [tex]g(x)=(x-1)^2-4[/tex]
[tex]g(\sqrt 3+3)=(\sqrt 3+3 -1)^2-4=(\sqrt 3+2)^2-4 =3+2\times \sqrt 3 \times 2+4-4=\cdots...[/tex]

B
Antécédents
Il te faut résoudre f(x)=0 et g(x)=0
Je résoudrais [tex](x-3)(x+4)=0[/tex]  et  [tex](x-3)(x+1)=0[/tex] parce que ce sont deux équations-produits dont la résolution -simple- t'es bien connue depuis la 3e...

C Résoudre les équations
[tex]f(x)=3g(x)[/tex]
Je prendrais encore les formes factorisées à cause de la présence dans les 2 cas de (x-3) qui va me donner un facteur commun :
[tex](x-3)(x+4)=3(x-3)(x+1) \;\Leftrightarrow \;(x-3)(x+4)-3(x-3)(x+1)=0 \;\Leftrightarrow \;(x-3)[(x+4)-3(x+1)][/tex] et tu auras de nouveau une équation-produit...

[tex]g(x)-f(x)=7[/tex] J'utiliserais les formes développées qui permettront d'éliminer les x² te laissant avec une équation du 1er degré à une inconnue du genre de celle que tu as appris à résoudre dès la 4e...

D Résoudre l'inéquation
[tex]f(x)+12\leqslant g(x)+3[/tex]
Je vois un 12 et 3, ça me rappelle quelque chose et je retourne voir les formes développées :
[tex]f(x)= x^2+x-12[/tex] : tiens, tiens -12, alors [tex]f(x)+12=x^2+x-12+12=x^2+x[/tex]
[tex]g(x)=x^2-2x-3[/tex] : tiens, tiens -3, alors [tex]g(x)+3=x^2-2x-3+3=x^2-2x[/tex]
On va donc essayer de voir plus loin
[tex]f(x)+12\leqslant g(x)+3 \;\Leftrightarrow\; x^2+x\leqslant x^2-2x \;\Leftrightarrow\;x^2+x-x^2+2x\leqslant 0[/tex]
Et je constate que les x² vont s'éliminer, te laissant avec une inéquation particulièrement simple...

A te lire...

@+

Ninine

Membre

Inscription : 14-03-2015

Messages : 6

Re : Fonction: Faire le bon choix.

Je pensais avoir répondu mais apparemment non donc merci beaucoup pour tout ça ! Du j'y avais réfléchis et tes résultats prouvent que les miens sont bons ! Ça m'a beaucoup aidé merci :)