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0^0

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Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

Bonjours à tous,

Je butte depuis plusieurs jours sur un problème qui a-posteriori n'est pas aussi simple que je me l'imaginais, celui de trouver une formule élégante (et non un programme si possible!) permettant de produire la liste complète des triangles à cotés entiers décomposables en 3 triangles dont les cotés sont entiers également, tels que ceux-ci possèdent un sommet en commun, autrement dit: une formule, la meilleure possible, permettant de trouver les triangles (à cotés entiers) qui possèdent la particularité d'avoir un point interne P à distances entières de leurs sommets.

Exemple: le triangle ABC tel que AB=19, BC=8 et AC=22, avec P interne tel que AP=17, BP=4 et CP=6.

J'aimerais connaître la liste des 1000 premiers de ces triangles.

Note: Il semble que celui donné soit le plus petit.

J'attends vos réponses.

Dernière modification par 0^0 (26-06-2014 21:39:43)

yoshi

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

Bonour,

Bienvenue à bord...
Je me méfie - à juste titre - souvent des gens qui s'annoncent comme nuls en Maths, d'abord parce que ça n'existe pas et ensuite, les problèmes avec lesquels ils se coltinent, ne sont souvent pas "pas piqués des hannetons" !
Le tien ne fait pas exception...

Sans programmation, tu souhaites avoir la liste des 1000 premiers triangles ? Tu rêves !!!
Bon, je t'invite à aller lire cette discussion :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=2006 qui traitait de ce problème et tu te rendras compte du niveau du problème...

@+

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0^0

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

Merci pour la bienvenue!

Je me doute que la programmation est inévitable si l'on se donne pour objectif de connaître la liste des triangles en question... Cela dit une formule me parlerait peut-être plus qu'un programme auquel je suis sûr de ne rien comprendre...

Pour ce qui est du lien, c'est le sujet qui m'a permit de découvrir le forum. ;)

Le souci c'est qu'il n'y est question que de triangles équilatéraux... Je me disais que l'on pouvait généraliser la problématique à tout triangle.

Naïvement: est-ce que la formule [tex](s^2 + b^2 - a^2)^2 + (s^2 + b^2 - c^2)^2 = (2 b s)^2[/tex] utile dans la recherche d'un point à distances entières a, b et c  de 3 d'entre les sommets d'un carré de cotés s pourrait nous donner une piste? En effet, ne pourrait-on pas envisager les trois sommets de ce carré comme un triangle rectangle isocèle, un triangle particulier donc, à partir duquel il serait possible de généraliser cette formule de manière à ce qu'elle s'applique à tout triangle?

@+

Dernière modification par 0^0 (25-06-2014 18:08:48)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

Salut,

Cela dit une formule me parlerait peut-être plus qu'un programme auquel je suis sûr de ne rien comprendre...

Oh, mais je comprends ça très bien...
Simplement, la programmation, une fois le ou les algorithmes établis et sans faute, permet de calculer infiniment mieux, plus vite,  et infailliblement qu'un être humain.
Surtout si tu veux les 1000 premiers triangles ! Combien de temps faudrait-il à quelqu'un maîtrisant le calcul algébrique pour trouver 1000 triangles ? Combien de pages auront été noircies ? une par triangle ? plus ?...
Je vais me replonger dans ce problème : ce n'était déjà pas simple alors qu'on avait un cas particulier, celui du triangle équilatéral alors généraliser aux triangles quelconques...

En effet, ne pourrait-on pas envisager les trois sommets de ce carré comme un triangle rectangle isocèle, un triangle particulier donc (...)

Bin, il faut vraiment que je replonge parce que je vois pas de quel carré tu parles...

@+

[EDIT]
Je viens de me farcir les 6 pages...
Et je n'y ai pas trouvé ceci :
[tex](s^2 + b^2 - a^2)^2 + (s^2 + b^2 - c^2)^2 = (2 b s)^2[/tex]
que tu cites ici :

est-ce que la formule (s^2 + b^2 - a^2)^2 + (s^2 + b^2 - c^2)^2 = (2 b s)^2 utile dans la recherche d'un point à distances entières a, b et c  de 3 d'entre les sommets d'un carré de cotés s pourrait nous donner une piste ?

Bravo, tu viens de trouver plus nul que toi : je ne connais pas cette formule...
Référence ?

Pour la question, a priori, j'en doute puisque tu veux des triangles quelconques : on ne travaille pas de la même façon dans un triangle rectangle (Pythagore, relations métriques dans ce triangle, trigonométrie...) de surcroît isocèle et dans un triangle quelconque...
Dans ce dernier, il y a bien le théorème d'Al Kashi (encore appelé théorème de Pythagore généralisé) ou d'autres formules... Mais qui dit trigo, dit angles et si ces angles on peut les trouver, on aura dans la majorité des cas des valeurs approchées et donc des valeurs de leurs lignes trigonométriques approchées, ce qui est malsain...

Dernière modification par yoshi (24-06-2014 21:15:14)

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0^0

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

Re,

Je viens de me farcir les 6 pages...
Et je n'y ai pas trouvé ceci :
[tex](s^2 + b^2 - a^2)^2 + (s^2 + b^2 - c^2)^2 = (2 b s)^2[/tex]
que tu cites ici :

est-ce que la formule (s^2 + b^2 - a^2)^2 + (s^2 + b^2 - c^2)^2 = (2 b s)^2 utile dans la recherche d'un point à distances entières a, b et c  de 3 d'entre les sommets d'un carré de cotés s pourrait nous donner une piste ?

Bravo, tu viens de trouver plus nul que toi : je ne connais pas cette formule...
Référence ?

Il semblerait que cette formule soit de J. H. Conway et M. Guy qui ont trouvé à partir d'elle qu'il y a un nombre infini de solutions au problème de 3 de ces distances entières à partir de trois sommets d'un carré unité.

Pour la question, a priori, j'en doute puisque tu veux des triangles quelconques : on ne travaille pas de la même façon dans un triangle rectangle (Pythagore, relations métriques dans ce triangle, trigonométrie...) de surcroît isocèle et dans un triangle quelconque...
Dans ce dernier, il y a bien le théorème d'Al Kashi (encore appelé théorème de Pythagore généralisé) ou d'autres formules... Mais qui dit trigo, dit angles et si ces angles on peut les trouver, on aura dans la majorité des cas des valeurs approchées et donc des valeurs de leurs lignes trigonométriques approchées, ce qui est malsain...

Je pensais effectivement à me servir de généralisations du théorème de Pythagore...

Mais je ne suis pas sûr de devoir te suivre quand tu suggères que cette approche soit malsaine, car il me semble que l'on peut contourner les calculs d'angles... (La formule ci-dessus par exemple ne fait pas intervenir de tels calculs...)

En effet, l'idée ce serait de partir des dimensions scalaires d'un triangle à tester (3 cotés), et de tester toutes les valeurs (entières) pour un 4 ème coté (3+1=4) à déterminer, jusqu'à ce que la formule F (qui reste encore à trouver) permette 2 solutions entières pour les 2 cotés restants (3+1+2=6), tout cela sans aucun calcul d'angle.

(En passant, je me dois d'admettre la nécessité de l'ordinateur et de la programmation...)

Remarque importante: Tout triangle ne possédant pas forcément de point interne à distances entières de ses sommets, je propose par conséquent de commencer la recherche à partir du triangle le plus petit possible en recherchant un point externe tel que relié aux 3 sommets de notre triangle de départ l'on obtienne un grand triangle divisé en trois plus petits dont lui: soit une figure générale qui correspond à nos critères, dont tous les cotés sont donc de longueur entière... L'on passe ensuite aux configurations suivantes...

________

Ps: Je dispose déjà (- Quelle misère! -) d'une formule bidouillée permettant de trouver un coté sur 6 à partir de 5:

Soit le triangle ABC que l'on peut découper en 3 triangles: ABP, BCP et CAP.

Si l'on part de ABC et que CP et BP fonctionnent, l'on en déduit AP:

AP=sqrt((sqrt(AC^2-((BC^2+AC^2-AB^2)/(2*BC))^2)-sqrt(CP^2-((BC^2+CP^2-BP^2)/(2*BC))^2))^2+(((AC^2+BP^2)-(AB^2+CP^2))/(2*BC))^2)

Ou même chose en plus lisible:

[tex]AP=\sqrt((\sqrt(AC^2-((BC^2+AC^2-AB^2)/(2BC))^2)[/tex]
[tex]-\sqrt(CP^2-((BC^2+CP^2-BP^2)/(2BC))^2))^2[/tex]
[tex]+(((AC^2+BP^2)-(AB^2+CP^2))/(2BC))^2)[/tex]

@+

Dernière modification par 0^0 (25-06-2014 14:27:14)

totomm

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

Bonjour,

Quelques questions pour mieux comprendre le problème posé :

qu'est-ce qu'une "formule permettant de produire...." ?
Comme a² = b² + c² qui permet de fournir les triplets pythagoriciens ?

"liste complète" : on peut utiliser les triplets pythagoriciens pour fournir une grande liste de triangles adéquats, mais jamais complète...

"triangles (à cotés entiers) qui peuvent être décomposés en 3 triangles non similaires à cotés entiers également" :  Comment est défini "non similaires" ?

On sait trouver une infinité d'ensembles de 4 points (et même de n points, n fini quelconque) non alignés dont les distances 2 à 2 sont entières. Mais pour que l'un des points soit intérieur au triangle formé par 3 autres, il faut aussi respecter des conditions d'inégalités supplémentaires entre les distances ( conditions non respectées dans cette solution )

"Il semble que celui (le triangle) donné soit le plus petit."  :
Est-ce que le triangle de cotés 3,4,5 est plus petit que celui de cotés 2,5,6 ?

la formule : [tex](s^2 + b^2 - a^2)^2 + (s^2 + b^2 - c^2)^2 = (2 b s)^2[/tex]
est vraie pour tout point M du plan, a, b, c étant les distances à 3 sommets d'un carré de coté s avec b la distance au sommet du triangle ayant un angle droit. Utiliser cette formule restreint vraisemblablement la généralité recherchée pour les solutions...et renvoie aux triplets pythagoriciens...

LEG

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

Bonjour
je ne sais pas si cela concerne cette recherche, mais il me semble qu'il existe une formule, de la méthode de Héron pour les scalènes (ou triangle Héroniens) et qui utilise les triplets Pythagoriciens...
un scalène Héronien a les trois côté en nombres entiers ainsi que sa surface.. est ce qu'il s'agit de ces triangles...?

0^0

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

Bonjour totomn,

qu'est-ce qu'une "formule permettant de produire...." ?
Comme a² = b² + c² qui permet de fournir les triplets pythagoriciens ?

"liste complète" : on peut utiliser les triplets pythagoriciens pour fournir une grande liste de triangles adéquats, mais jamais complète...

Oui, c'est tout le problème! D'autant plus que les compositions de triangles adéquats qui m'intéressent le plus sont celles dont les triangles qui les forment n'ont pas de hauteur rationnelle...

"triangles (à cotés entiers) qui peuvent être décomposés en 3 triangles non similaires à cotés entiers également" :  Comment est défini "non similaires" ?

J'entendais par "non similaires" des triangles non isomorphes (formes symétriques comprises), autrement dit: des triangles qui n'ont pas la même forme (même retournée) et cela quelque soit l'échelle.

Mais en y réfléchissant de plus près, cette condition n'est pas très judicieuse car elle restreint les solutions possibles et complique les choses inutilement, je modifie donc mon énoncé sur le champ.

On sait trouver une infinité d'ensembles de 4 points (et même de n points, n fini quelconque) non alignés dont les distances 2 à 2 sont entières. Mais pour que l'un des points soit intérieur au triangle formé par 3 autres, il faut aussi respecter des conditions d'inégalités supplémentaires entre les distances (conditions non respectées dans cette solution)

C'est une piste intéressante, serait-il possible d'en savoir un peu plus?

"Il semble que celui (le triangle) donné soit le plus petit."  :
Est-ce que le triangle de cotés 3,4,5 est plus petit que celui de cotés 2,5,6 ?

Le triangle dont je parlais était:

ABC tel que AB=19, BC=8 et AC=22, possédant un point interne P tel que AP=17, BP=4 et CP=6. 

Mais pour répondre à ta question qui est une très bonne question:

le triangle de cotés 2,5,6 est effectivement plus petit que celui de cotés 3,4,5 dans le sens où:

[tex]\frac{\sqrt{(\frac{2+5+6}{2})(\frac{2+5+6}{2}-2)(\frac{2+5+6}{2}-5)(\frac{2+5+6}{2}-6)}}{2+5+6}[/tex] < [tex]\frac{\sqrt{(\frac{3+4+5}{2})(\frac{3+4+5}{2}-3)(\frac{3+4+5}{2}-4)(\frac{3+4+5}{2}-5)}}{3+4+5}[/tex]

[comparaison des rapports des aires sur les périmètres... (J'utilise la formule de Héron...)]

la formule : [tex](s^2 + b^2 - a^2)^2 + (s^2 + b^2 - c^2)^2 = (2 b s)^2[/tex]
est vraie pour tout point M du plan, a, b, c étant les distances à 3 sommets d'un carré de coté s avec b la distance au sommet du triangle ayant un angle droit*. Utiliser cette formule restreint vraisemblablement la généralité recherchée pour les solutions...et renvoie aux triplets pythagoriciens...

Oui en effet, d'où ma question: y aurait-il un moyen de la généraliser de manière à ce qu'elle rende compte des autres cas?

[note: b la distance au sommet du triangle isocèle rectangle en B que forment les sommets A, B et C du carré considéré.]

_____________

Remarque:

Il se peut que mon problème soit mal posé?

Si oui, je suis prêt à en modifier l'énoncé à tout instant, j'attends vos suggestions.

Dernière modification par 0^0 (26-06-2014 01:01:38)

yoshi

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

Bonjour,

Tu t'es lancé dans LateX,
bravo !
Points de détail :
Fractions : elle s'écrivent \frac{3}{4} avec les balises tex :  [tex]\frac{3}{4}[/tex]
Racines
* Carrées : non pas \sqrt(a^2+b^2+c^2)  --> [tex]\sqrt(a^2+b^2+c^2)[/tex], mais \sqrt{a^2+b^2+c^2} -->  [tex]\sqrt{a^2+b^2+c^2}[/tex]
* enièmes (par ex cubiques) : \sqrt[3}{27}= 3  ==> [tex]\sqrt[3]{27}= 3[/tex]

Les deux ensemble :
\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt {3}}{2}  ==> [tex]\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt {3}}{2}[/tex]

Pour ton énoncé, tu cherches bien 1000 triangles dont les côtés ont des longueurs entières et tels que pour chacun, il existe au moins un point strictement intérieur dont les les distances aux 3 sommets sont aussi entières. ?
C'est à dire une généralisation à n'importe quel type de triangle de la discussion ( mise en lien supra) et qui nous agités un temps certain...

Si oui, l'énoncé est très clair...

@+

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LEG

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

Le paramétrage utilise celui des triplets Pythagoriciens : avec [tex]p, q, m, n [/tex]. Entiers impairs
On construit [tex]T_1 ; T_2 ; T_3 [/tex] pour ce dernier triangle on utilise les coordonnées de [tex]T_1[/tex] et [tex]T_2[/tex]

[tex]T_1[/tex] : [tex]m = 5[/tex] et [tex]n  = 1[/tex] ce qui donne :

[tex]X_1 = \frac{(m² - n²)}{2} = 12[/tex] ; [tex]Y_1 = m*n = 5[/tex] ; [tex]Z_1 = \frac{(m² + n²)}{2} =13[/tex]

[tex]T_2[/tex] : [tex]p = 3[/tex] et [tex]q = 1[/tex] :

[tex]X_2 = \frac{(p² - q²)}{2} = 4[/tex] ; [tex]Y_2 = p*q = 3[/tex] ; [tex]Z_2 = \frac{(p² + q²)}{2} = 5[/tex]

T_3 : [tex]α = 11[/tex] et [tex]β = 3[/tex]

On calcul [tex]α[/tex] et [tex]β[/tex] avec la formule :
[tex]A = mq + pn  = 8[/tex]
[tex]B = mp – qn  = 14[/tex]

Ce qui donne :
[tex]α  = \frac{(B + A )}{2}  = 11[/tex]
[tex]β = \frac{(B - A )}{2}  = 3[/tex]

d’où pour :

[tex]X_3 = \frac {(α ² - β ²)}{2} = 56[/tex] ; [tex]Y_3 = α * β = 33[/tex] ; [tex]Z_3 = \frac{(α ² + β ²)}{2} = 65[/tex]

On obtient le scalène de côté [tex]a; b ; c’ [/tex]:
[tex]13 ;14 ;15[/tex]  dont l’aire est un entier.

avec :
[tex]a =\frac{(m² + n²)(p² - q²)}{16}[/tex] = [tex]\frac{X_2 Z_1}{4}[/tex]
[tex]b =\frac{(m² - n²)(p²+q²)}{16}[/tex] = [tex]\frac{X_1 Z_2}{4}[/tex]
[tex]c' =\frac{(mq+pn)(mp - qn)}{8}[/tex] = [tex]\frac{X_3}{4}[/tex]

l'aire S' :
[tex]S' = \frac{(m²-n²)(p²-q²)(mq + pn)(mp - qn)}{256} [/tex]= [tex]\frac{x_1 X_2 X_3}{32}[/tex]

diamètre du cercle circonscrit:
[tex]2R = \frac{Z_3}{4}[/tex] = [tex]\frac{Z_1 Z_2}{4}[/tex]

bonne continuation...

0^0

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

Bonjour LEG,

je ne sais pas si cela concerne cette recherche, mais il me semble qu'il existe une formule, de la méthode de Héron pour les scalènes (ou triangle Héroniens) et qui utilise les triplets Pythagoriciens...
un scalène Héronien a les trois côté en nombres entiers ainsi que sa surface.. est ce qu'il s'agit de ces triangles...?

Comme quoi même s'il est scalène et sans angle droit, du moment qu'un triangle est héronien, il ne sera plus tout-à-fait quelconque...

Pour ce qui est de la formule de Héron, je ne vois pas bien dans l'absolu en quoi elle dépendrait des triplets pythagoriciens, car pour n'importe lequel de ces triplets il existe une infinité de triangles de même aire et de même périmètre auquel cette formule permet d'accéder.

Mais tu devais certainement faire allusion au paramétrage que tu présentes ensuite, car je constates que tu n'ignores pas qu'un triangle dit "héronien" (c'est-à-dire dont l'aire et le périmètre sont rationnels) n'est pas forcément rectangle: les triplets Pythagoriciens ne forment en effet qu'un sous-ensemble de celui des héroniens.

http://blog.kleinproject.org/?p=408&lang=fr

__________

Le paramétrage utilise celui des triplets Pythagoriciens : avec [tex]p, q, m, n [/tex]. Entiers impairs
On construit [tex]T_1 ; T_2 ; T_3 [/tex] pour ce dernier triangle on utilise les coordonnées de [tex]T_1[/tex] et [tex]T_2[/tex]

[tex]T_1[/tex] : [tex]m = 5[/tex] et [tex]n  = 1[/tex] ce qui donne :

[tex]X_1 = \frac{(m² - n²)}{2} = 12[/tex] ; [tex]Y_1 = m*n = 5[/tex] ; [tex]Z_1 = \frac{(m² + n²)}{2} =13[/tex]

[tex]T_2[/tex] : [tex]p = 3[/tex] et [tex]q = 1[/tex] :

[tex]X_2 = \frac{(p² - q²)}{2} = 4[/tex] ; [tex]Y_2 = p*q = 3[/tex] ; [tex]Z_2 = \frac{(p² + q²)}{2} = 5[/tex]

T_3 : [tex]α = 11[/tex] et [tex]β = 3[/tex]

On calcul [tex]α[/tex] et [tex]β[/tex] avec la formule :
[tex]A = mq + pn  = 8[/tex]
[tex]B = mp – qn  = 14[/tex]

Ce qui donne :
[tex]α  = \frac{(B + A )}{2}  = 11[/tex]
[tex]β = \frac{(B - A )}{2}  = 3[/tex]

d’où pour :

[tex]X_3 = \frac {(α ² - β ²)}{2} = 56[/tex] ; [tex]Y_3 = α * β = 33[/tex] ; [tex]Z_3 = \frac{(α ² + β ²)}{2} = 65[/tex]

On obtient le scalène de côté [tex]a; b ; c’ [/tex]:
[tex]13 ;14 ;15[/tex]  dont l’aire est un entier.

avec :
[tex]a =\frac{(m² + n²)(p² - q²)}{16}[/tex] = [tex]\frac{X_2 Z_1}{4}[/tex]
[tex]b =\frac{(m² - n²)(p²+q²)}{16}[/tex] = [tex]\frac{X_1 Z_2}{4}[/tex]
[tex]c' =\frac{(mq+pn)(mp - qn)}{8}[/tex] = [tex]\frac{X_3}{4}[/tex]

l'aire S' :
[tex]S' = \frac{(m²-n²)(p²-q²)(mq + pn)(mp - qn)}{256} [/tex]= [tex]\frac{x_1 X_2 X_3}{32}[/tex]

diamètre du cercle circonscrit:
[tex]2R = \frac{Z_3}{4}[/tex] = [tex]\frac{Z_1 Z_2}{4}[/tex]

bonne continuation...

Voilà qui est bien intéressant, mais je ne vois pas au juste en quoi ceci répond au problème que j'ai posé....

@+

0^0

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

Tu t'es lancé dans LateX,
bravo!
...

J'ai bien tenté de faire quelques corrections en effet, mais ne pouvant utiliser l'application pour je ne sais quelle raison, je suis obligé de faire les modifications en les tapant à la main... Cela dit, lorsque je m'y essaye, le résultat n'est pas ce que je voudrais: cela me donne des formules qui dépassent du cadre, des parenthèses non proportionnées, etc...

J'abandonne pour le moment!!

Pour ton énoncé, tu cherches bien 1000 triangles dont les côtés ont des longueurs entières et tels que pour chacun, il existe au moins un point strictement intérieur dont les les distances aux 3 sommets sont aussi entières. ?
C'est à dire une généralisation à n'importe quel type de triangle de la discussion ( mise en lien supra) et qui nous [a] agités un temps certain...

Si oui, l'énoncé est très clair...

Oui c'est bien cela, je recherche les 1000 premiers triangles ainsi définis.

Parfaitement!

;)

@+

0^0

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

Exceptés les triangles équilatéraux mentionnés dans l'autre fil, je n'ai pour l'instant que les triangles 'ABC' tels que:

_ AB=19, BC=8 et AC=22, avec P interne tel que AP=17, BP=4 et CP=6
le triangle (2)

_ AB=20, BC=18 et AC=26, avec P interne tel que AP=13, BP=9 et CP=15
le triangle

_ AB=36, BC=25 et AC=37, avec P interne tel que AP=27, BP=15 et CP=14
le triangle

Je ne suis pas du tout sûr que ce soient les trois premiers....

Quelqu'un en verrait-il déjà quelques autres dont les cotés seraient inférieurs à 100?

@+

yoshi

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

Salut,

des formules qui dépassent du cadre

Par exemple ?
Trop longues pour tenir sur une ligne ?
Dans ce cas, oui, c'est fréquent quand on enchaîne les =..
Solution : Retourner à la ligne...

des parenthèses non proportionnées

Je présume que tu veux dire ceci :
(\frac{3}{4}) ==> [tex](\frac{3}{4})[/tex]
(3^2)^4   ==>[tex] (3^2)^4[/tex]

Là, c'est simple (quand on sait), il faut écrire :
\left(\frac{3}{4\right) ==> [tex]\left(\frac{3}{4}\right)[/tex]

\left(3^2\right)^4  ==> [tex]\left(3^2\right)^4[/tex]

Quant à l’Éditeur d'équation de Fred, il fonctionne sous Java : il est donc nécessaire d'avoir installé l'environnement Java sur sa ma machine. A vérifier !

Quant à tout faire à la main, nous sommes nombreux dans ce cas et de plus à préférer cela...

@+

---

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

Merci pour ces indications! :)

tentative n°1:

le triangle de cotés 2,5,6 est plus petit que celui de cotés 3,4,5 dans le sens où si l'on compare les rapports de leurs aires sur leurs périmètres... (J'utilise la formule de Héron...) on a:

[tex]\frac{\sqrt{\left(\frac{2+5+6}{2}\right)\left(\frac{2+5+6}{2}-2\right)\left(\frac{2+5+6}{2}-5\right)\left(\frac{2+5+6}{2}-6\right)}}{2+5+6}[/tex] < [tex]\frac{\sqrt{\left(\frac{3+4+5}{2}\right)\left(\frac{3+4+5}{2}-3\right)\left(\frac{3+4+5}{2}-4\right)\left(\frac{3+4+5}{2}-5\right)}}{3+4+5}[/tex]

Les fractions au niveau des numérateurs s'affichent en plus petit... Échec partiel?

tentative n°2:

[tex]AP = \sqrt{\left(\sqrt{AC^2-\left(\frac{BC^2+AC^2-AB^2}{2BC}\right)^2}-\sqrt{CP^2-\left(\frac{BC^2+CP^2-BP^2}{2BC}\right)^2}\right)^2+\left(\frac{(AC^2+BP^2)-(AB^2+CP^2)}{2BC}\right)^2}[/tex]

Réussite incomplète!

Il manque la fin de ma formule que voici: [tex]AP = \sqrt{\ ................. +\left(\frac{(AC^2+BP^2)-(AB^2+CP^2)}{2BC}\right)^2}[/tex]

;(

Comment faire pour l'écrire sur plusieurs lignes?

________

Désolé pour les autres... Veuillez bien m'excusez....

Mais il se trouve qu'il existe de nombreux domaines où d'évidence je ne brille pas.... ;)

@+

yoshi

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

Bonjour,

Les fractions au niveau des numérateurs s'affichent en plus petit... Échec partiel?

Non, c'est normal...
Si vraiment tu trouves ça trop disgracieux, tu contournes le problème en remplaçant \frac par \dfrac :
[tex]\frac{\sqrt{\left(\dfrac{2+5+6}{2}\right)\left(\dfrac{2+5+6}{2}-2\right)\left(\dfrac{2+5+6}{2}-5\right)\left(\dfrac{2+5+6}{2}-6\right)}}{2+5+6}[/tex]
Mais tes fractions devenant plus "grosses", il t'en manquera une partie...
Il est quans même ratre que des formules soient aussi longues...

Ce qui amène à ton 2e problème :

Il manque la fin de ma formule (..) Comment faire pour l'écrire sur plusieurs lignes?

Dans le 1er cas, je ne vois guère qu'une simplification :
écrire d'abord :

Dans ce qui suit : 13 = 2+5+6 =13, 12 = 3+4+5

puis

[tex]\frac{\sqrt{\dfrac{13}{2}\left(\dfrac{13}{2}-2\right)\left(\dfrac{13}{2}-5\right)\left(\dfrac{13}{2}-6\right)}}{13}< \frac{\sqrt{\dfrac{12}{2}\left(\dfrac{12}{2}-3\right)\left(\dfrac{12}{2}-4\right)\left(\dfrac{12}{2}-5\right)}}{12}[/tex]

Dans le 2e cas, dire :
1. On pose AB = c, AC = b, BC = a

2. On obtient :
[tex]AP = \sqrt{\left(\sqrt{b^2-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}\right)^2}-\sqrt{CP^2-\left(\frac{a^2+CP^2-BP^2}{2a}\right)^2}\right)^2+\left(\frac{(b^2+BP^2)-(c^2+CP^2)}{2a}\right)^2}[/tex]

Pas beaucoup d'autre solutions...
a, b, c désignent conventionnellement les longueurs BC, (opposée au point A, d'où le a), AC (opposée au point B), et AB opposée au point C : il n'y aura pas de surprises là pour quiconque fait des maths depuis un certain temps.

Pour ton problème, à la main, c'est "imbuvable", mais s'il y en a un qui peut te trouver ça, c'est bien totomm, un hybride entre GeoTrouvetou et le Pic de la Mirandole...
Moi, je réfléchis directement à comment programmer ça (ce n'est pas forcément plus évident, mais ainsi que je l'ai dit, c'est la seule façon acceptable de trouver ne serait-ce qu'une centaine de triangles.
Bonne chance à totomm, mais moi (j'espère avoir tort), je ne crois pas à l'existence d'une formule "magique"..

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totomm

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

Bonjour,

Je ne sais si les qualificatifs de yoshi sont des louanges ou des sarcasmes,
Mais je pars de la constatation que
"pour tout triangle scalène ABC dont tout angle au sommet est inférieur à [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] le centre du cercle circonscrit est intérieur au triangle".
Si les cotés du triangle et le rayon du cercle circonscrit ont des longueurs entières, ce triangle ABC respecte les conditions posées par Nulenmaths au post #1 (Le point P demandé est le centre du cercle circonscrit)

Je sais alors définir, construire (calculer en un temps court), n triangles scalènes (n fini quelconque, aussi grand soit-il), tous différents, convenant au problème posé.

Il suffit de construire sur le cercle de rayon 1 (le cercle trigonométrique) des points tous situés à "distance rationnelle " les uns des autres. Pour cela il suffit que la différence de leurs arguments soit un multiple d'un angle [tex]\alpha[/tex] (assez petit) tel que [tex]\tan\left( \frac{\alpha}{4} \right)[/tex] soit rationnelle.
Note : Pour passer d'une figure où les longueurs sont rationnelles à une figure où les longueurs sont toutes entières, il suffit de dilater suivant le PPCM de tous les dénominateurs.

Je vous laisse définir la suite…

Dernière modification par totomm (26-06-2014 11:21:31)

yoshi

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

RE,

Je ne sais si les qualificatifs de yoshi sont des louanges ou des sarcasmes,

Allons, allons ! Simple constat évident : une somme pareille de connaissances, une grande ingéniosité dans une seule personne, ça ne court pas les rues ! De mauvaise foi serait qui refuserait de le reconnaître...

N'ai-je pas écrit à Nulenmaths (Dieu que je hais ce pseudo, manifestement inexact !!!)

Pour ton problème, à la main, c'est "imbuvable", mais s'il y en a un qui peut te trouver ça, c'est bien totomm (...)

Il va falloir que je prenne le temps de relire ce que est avancé ci-dessus, parce que j'ai bien l'impression (ou alors je n'ai rien compris, et ce ne serait pas la première fois) qu'il y a là un cas particulier, celui de triangles dont le point intérieur est à égale distance des sommets, ce qui est déjà une belle avancée, ou de triangles dont tous les angles sont aigus...
Donc, wait and see, le cas des distances non forcément égales en découlera peut-être.

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totomm

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

reBonjour,

Ce n'est effectivement qu'un cas particulier (de la liste infinie) des triangles qui conviennent, car il n'est pas spécifié que le point intérieur P soit à des distances différentes de chacun des sommets
et ce n'est qu'une adaptation du problème : peut-on trouver dans le plan n points non alignés à distances entières les uns des autres.

Mais on voit que les triangles que je propose peuvent être tous différents les uns des autres, y compris les triangles "internes"

@ yoshi : Nulemmaths n'est pas si nul qu'il le prétend...
je faisais de l'humour en évoquant louange ou sarcasme, nous savons à quoi nous en tenir...

LEG

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

Bonjour

J'ai retrouvé cette discussion que l'on m'avait envoyé...:

Est ce que le quadruplet  par exemple:[tex](p,q,r,s) =(1,13,11,7)[/tex] qui est un multiple d'un Triangle héronien primitif, est candidat pour construire le Triangle de côté: [tex]a , b , c [/tex].

[tex]a = p q(r² + s²)[/tex]
[tex]b = r s (p² + q²)[/tex]
[tex]c = (p s + q r)(q s - p r)[/tex]

[tex]S = p q r s(ps+qr)(qs-pr)[/tex]

[tex]R =\frac {(p²+q²)(r² + s²)}{4}[/tex]

[tex]tan\frac {A}{2} = \frac{p}{q}[/tex]

[tex]tan\frac {B}{2} = \frac{r}{s}[/tex]

[tex]tan\frac {C}{2} = \frac{(qs - pr)}{(ps + qr)}[/tex]

donne un triangle héronien [tex]T(p,q,r,s)[/tex] où les angles [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] sont [tex]\leqslant\frac{\pi}{2}[/tex]

yoshi

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

Salut,

La réponse de totomm a piqué ma curiosité, j'ai fait une recherche sur ces bases et j'en retire deux liens voisins
http://www.les-mathematiques.net/phorum … p?8,750491
http://forums.futura-sciences.com/mathe … mmets.html
Le plus surprenant et peut-être le plus prometteur, ABC étant le triangle donné et P le point intérieur est de considérer PABC comme un tétraèdre aplati, donc de volume nul.
En attendant d'avoir l'idée d'une exploitation, je vais relire encore la discussion qui a eu lieu avec un triangle équilatéral et examiner parmi les différentes méthodes proposées, la plus adaptable au cas de Nulenmaths (pour changer de pseudo ^_^ , voir Fred, administrateur, fondateur et propriétaire du site)...

@+

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

Bonsoir à tous,

N'ai-je pas écrit à Nulenmaths (Dieu que je hais ce pseudo, manifestement inexact !!!)

Inexact, je ne sais pas trop...

Il va falloir que je prenne le temps de relire ce que est avancé ci-dessus, parce que j'ai bien l'impression (ou alors je n'ai rien compris, et ce ne serait pas la première fois) qu'il y a là un cas particulier, celui de triangles dont le point intérieur est à égale distance des sommets, ce qui est déjà une belle avancée, ou de triangles dont tous les angles sont aigus...

Telle qu'elle est formulée, cette approche ne conduit en effet pour le moment qu'à trouver des cas doublement particuliers...

Mais c'est une piste qu'il est peut-être intéressant d'étudier de plus près, je n'en sais rien...

Ce n'est effectivement qu'un cas particulier (de la liste infinie) des triangles qui conviennent, car il n'est pas spécifié que le point intérieur P soit à des distances différentes de chacun des sommets...

Certes, mais j'avais spécifié rechercher "une formule  [...] permettant de produire la liste complète des triangles à cotés entiers décomposables en 3 triangles dont les cotés sont........"

---------> (voir le post n°1)

J'avais en outre indiqué vouloir connaître la liste des 1000 premiers de ces triangles, ce que cette démarche ne semble pas pouvoir permettre quelles que soient les modifications qu'on lui apporterait.

...et ce n'est qu'une adaptation du problème : peut-on trouver dans le plan n points non alignés à distances entières les uns des autres.
Mais on voit que les triangles que je propose peuvent être tous différents les uns des autres, y compris les triangles "internes"

En effet, c'est déjà pas mal!

;)

@ yoshi : Nulemmaths n'est pas si nul qu'il le prétend...

Mais je ne prétends rien! Je ne suis qu'un petit amateur, avec tout juste un niveau de terminale D.

Et encore....

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

Il est quand même rare que des formules soient aussi longues...

Là ça sent le sarcasme!

:)

yoshi

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

Bonjour,

Là ça sent le sarcasme!

Absolument pas ! Pourquoi donc ? C'est un fait : je ne crois pas avoir jamais eu à écrire de formule complète qui ne tienne pas sur une ligne ; ce qui m'est arrivé est de devoir renvoyer l'un des signes "=" d'une chaîne d'égalité à la ligne, oui.
Ce n'est pas un problème Latex à proprement parler, mais de limitation de mise en page du moteur du forum...

@+

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Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

Bonjour Yoshi,

J'avais soupçonné un petit air moqueur dans le sens où la concision est souvent perçue comme participant pour beaucoup à ce qui fait l'élégance voire la pertinence d'une formule...

@+

Dernière modification par 0^0 (29-06-2014 13:07:13)