Exercice première S, vecteurs.

Emeline · 28-02-2014 17:56:41

Bonjour, j'ai un devoir maison à faire pour la rentrée, et le premier exercice consiste à exprimer des vecteurs en fonction d'autres vecteurs. Et j'ai eu beaucoup de mal à le faire. Après m'être acharné pendant deux jours sur cet exercice, je pense l'avoir réussi. Il y'a juste une question où je n'arrive pas à trouver la méthode pour y répondre. Je vous mets l'exercice en entier avec mes réponses et je vous souligne la question que je ne réussi pas. Et si vous pourriez vérifier si mes autres résultats son bons, ce serait vraiment gentil, pour que je puisse essayer de le refaire si j'ai faux, s'il vous plaît. Merci énormément à ceux qui vont prendre un peu de leur temps pour m'aider :

EXERCICE 1 :

ABCD est un rectangle tel que AB= 2AD
I est le mileu de [AB] et K le milieu de [CD].

1) Exprimer le vecteur [tex]\overrightarrow{DI}[/tex] en fonction de [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AD}[/tex]
REPONSE :
[tex]\overrightarrow{DI}[/tex] = [tex]\overrightarrow{DA}[/tex] + [tex]\overrightarrow{AI}[/tex]
= [tex]\overrightarrow{-AD}[/tex]+[tex]\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}[/tex]
2) Soit E le point défini par [tex]\overrightarrow{DE}[/tex]=[tex]\frac{2}{3}\overrightarrow{DI}[/tex]
a/ Exprimer [tex]\overrightarrow{AE}[/tex] en fonction de [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AD}[/tex]
REPONSE :
[tex]\overrightarrow{AE}[/tex]=[tex]\overrightarrow{AD}[/tex]+[tex]\overrightarrow{DE}[/tex]
=[tex]\overrightarrow{AD}[/tex]+[tex]\frac{2}{3}{(}{-}\overrightarrow{AD} +\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}{)} [/tex]
=[tex]\overrightarrow{AD}[/tex]-[tex]\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}[/tex]+[tex]\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}[/tex]
=[tex]\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}[/tex]+[tex]\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}[/tex]
b/ En déduire que [tex]\overrightarrow{AE}[/tex]=[tex]\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}[/tex]
REPONSE :
[tex]\overrightarrow{AE}[/tex]=[tex]\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}[/tex]+[tex]\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}[/tex]
=[tex]\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}[/tex]+[tex]\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}[/tex]
=[tex]\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}[/tex]+[tex]\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}[/tex]+[tex]\frac{1}{3}\overrightarrow{DA}[/tex]+[tex]\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}[/tex]
=[tex]\overrightarrow{-EA}[/tex]+[tex]\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}[/tex]
2[tex]\overrightarrow{AE}[/tex] =[tex]\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}[/tex]
=[tex]\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}[/tex]
c/ Que peut-on en déduire des points A,E,C ?
REPONSE :

Les points A,E,C sont alignés
3) Soit F le symétrique de A par rapport à E.
a/ Exprimer [tex]\overrightarrow{AF}[/tex] en fonction de [tex]\overrightarrow{AC}[/tex]
REPONSE :

[tex]\overrightarrow{AF}[/tex]=[tex]\overrightarrow{AE}[/tex]+[tex]\overrightarrow{EF}[/tex]
= [tex]\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}[/tex]+[tex]\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}[/tex]
= [tex]\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}[/tex]
b/ En déduire l'expression de [tex]\overrightarrow{AF}[/tex] en fonction de [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AD}[/tex]
REPONSE :

[tex]\overrightarrow{AF}[/tex] =[tex]\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}[/tex]
=[tex]\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}[/tex]+[tex]\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}[/tex]
=[tex]\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}[/tex]+[tex]\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}[/tex]

4) Exprimer [tex]\overrightarrow{BK}[/tex] en fonction de [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AD}[/tex]
REPONSE :

[tex]\overrightarrow{BK}[/tex]=[tex]\overrightarrow{BD}[/tex]+[tex]\overrightarrow{DK}[/tex]
= [tex]\overrightarrow{BA}[/tex]+[tex]\overrightarrow{AD}[/tex]+[tex]\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}[/tex]
=[tex]\overrightarrow{BA}[/tex]+[tex]\overrightarrow{AD}[/tex]+[tex]\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}[/tex]+[tex]\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}[/tex]
= -2[tex]\overrightarrow{AD}[/tex]+[tex]\overrightarrow{AD}[/tex]-[tex]\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}[/tex]+[tex]\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}[/tex]+[tex]\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}[/tex]
= -[tex]\overrightarrow{AD}[/tex] - [tex]\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}[/tex]+[tex]\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}[/tex]+[tex]\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}[/tex]
= -[tex]\overrightarrow{AD}[/tex]+[tex]\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}[/tex]

5) Démontrer que F appartient à la droite (BK). Je ne sais vraiment pas quoi faire.

Voilà, merci beaucoup :)

yoshi · 28-02-2014 20:15:54

Bonsoir Emeline,

Bienvenue sur BibMath...
Tu présentes tes réponses, tu écris en LateX... mais c'est formidable ! Une vraie perle !
Bon, oui c'est juste sauf la Q4...

Un point de détail : pour le 2 b) tu prends un bazooka pour détruire un moustique !
Tu sais que [tex]\overrightarrow{AE} =\frac 1 3\overrightarrow{AB}+\frac 1 3\overrightarrow{AD}[/tex]
Pourquoi ne pas écrire :
[tex]\overrightarrow{AE} =\frac 1 3\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)[/tex]
Or, puisque tu as un rectangle (donc un parallélogramme : \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}
Et tu écris :
[tex]\overrightarrow{AE} =\frac 1 3\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)=\frac 1 3\overrightarrow{AC}[/tex]
Ce n'est pas plus simple comme ça ?

Question 4.
Je te propose :
[tex]\overrightarrow{BK} = \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DK}[/tex]
Et on obtient : :
[tex]\overrightarrow{BK} = -\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac 1 2\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac 1 2\overrightarrow{AB}= -\frac 1 2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}[/tex]

Dans cette question tu as fait une grosse faute en passant de la ligne 3 (sous REPONSE) à la ligne 4 en remplaçant [tex]\overrightarrow{BA}[/tex] par [tex]-2\overrightarrow{AD}[/tex].
Je te laisse chercher pourquoi. C'est ce qui rend ton calcul faux. Dommage parce que c'était une façon d'y arriver...

Question 5
Tu dois montrer que [tex]\overrightarrow{BF}=k.\overrightarrow{BK}[/tex]
L'énoncé t'a demandé d'écrire [tex]\overrightarrow{BK}[/tex] en fonction de [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AD}[/tex] pourquoi ne pas faire de même avec [tex]\overrightarrow{BF}[/tex] ?

Reviens dire ce que tu as fait !

@+

Emeline · 01-03-2014 10:59:33

Bonjour yoshi ,

Merci beaucoup, c'est vrai que pour la 2 b) j'ai cherché compliqué alors qu'il y'avait beaucoup plus simple, pour la question 4 aussi en fait. Je pense que mon erreur c'est parce que j'ai mis -2[tex]\overrightarrow{AD}[/tex] au lieu de -2[tex]\overrightarrow{DA}[/tex] non ?
Merci pour la question 5. J'avais pensé à tout et n'importe quoi sauf la condition de colinéarité :). Alors voilà ce que j'ai fait :

[tex]\overrightarrow{BF}[/tex]=[tex]\overrightarrow{BA}[/tex]+[tex]\overrightarrow{AF}[/tex]
= [tex]\overrightarrow{-AB}[/tex]+[tex]\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}[/tex]+[tex]\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}[/tex]
= -[tex]\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}[/tex]+[tex]\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}[/tex]

[tex]\overrightarrow{BF}[/tex] = [tex]\frac{2}{3}\overrightarrow{BK}[/tex], donc [tex]\overrightarrow{BF}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BK}[/tex] sont colinéaires, donc B,F,K sont alignés et F appartient à (BK).

Voilà :)

yoshi · 01-03-2014 11:35:45

Salut,

Pour ton erreur, non ce ,n'est pas cela...
Dans ce que tu as écrit :

4) Exprimer [tex]\overrightarrow{BK}[/tex] en fonction de [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AD}[/tex]
REPONSE :
[tex]\overrightarrow{BK}[/tex]=[tex]\overrightarrow{BD}[/tex]+[tex]\overrightarrow{DK}[/tex]
= [tex]\overrightarrow{BA}[/tex]+[tex]\overrightarrow{AD}[/tex]+[tex]\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}[/tex]
=[tex]\overrightarrow{BA}[/tex]+[tex]\overrightarrow{AD}[/tex]+[tex]\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}[/tex]+[tex]\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}[/tex] c'est encore correct
= [tex]-2\overrightarrow{AD}[/tex]+[tex]\overrightarrow{AD}[/tex]-[tex]\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}[/tex]+[tex]\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}[/tex]+[tex]\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}[/tex] là c'est faux
= -[tex]\overrightarrow{AD}[/tex] - [tex]\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}[/tex]+[tex]\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}[/tex]+[tex]\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}[/tex]
= -[tex]\overrightarrow{AD}[/tex]+[tex]\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}[/tex]

Tu as remplacé [tex]\overrightarrow{BA}[/tex] par [tex]-2\overrightarrow{AD}[/tex]
Ça, c'est une horreur technique et je sais pourquoi tu as écrit ça : l'énoncé te dit bien "ABCD est un rectangle tel que AB= 2AD" et pourtant ce que toi tu écris est faux...
Pourquoi ? (Il est absolument indispensable que tu trouves ce pourquoi !)

A part ça, la Q5 est juste.

@+

Emeline · 01-03-2014 15:04:08

D'accord ^^ Merci beaucoup, je vais réfléchir à mon erreur :) A bientôt.

yoshi · 03-03-2014 12:43:25

Bonjour,

Alors, Émeline, as-tu trouvé ?

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 28-02-2014 17:56:41

Exercice première S, vecteurs.

#2 28-02-2014 20:15:54

Re : Exercice première S, vecteurs.

#3 01-03-2014 10:59:33

Re : Exercice première S, vecteurs.

#4 01-03-2014 11:35:45

Re : Exercice première S, vecteurs.

#5 01-03-2014 15:04:08

Re : Exercice première S, vecteurs.

#6 03-03-2014 12:43:25

Re : Exercice première S, vecteurs.

Pied de page des forums