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cléopatre

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[Résolu] Gauss

Bonsoir j'ai un nouveau problème.
Il faut résoudre x^3 - y^3 = 999 dans Z, comment pourrais je débuter?
J'ai trouver un solution particulière (x0 ; y0) = (10 ; 1)
J'ai utilsié Gauss et j'ai trouver (x;y) = ((k+1000)^(1/3) ; (k+1)^(1/3))
Mais je dois résoudre dans Z, comment faire?

Dernière modification par cléopatre (09-11-2006 22:02:02)

john

Invité

Re : [Résolu] Gauss

Je vais essayer de ne pas récidiver... (SE = Sauf Erreur)
Sans faire intervenir de grands théorèmes, on peut écrire :
x^3 - y^3 = 999
(x - y).(x^2 + xy + y^2) = 37.(3^3)
Et maintenant, on essaie de réfléchir sans s'auto-piéger soi-même personnellement tout seul.
Le SECOND terme du 1er membre ne peut pas se mettre sous la forme d'un produit de facteurs REELS. En effet :
Pour y donné, on a :
delta = y^2 - 4.y^2 = -3.y^2 => 2 racines complexes conjuguées.
Le 1er membre est donc un produit de 2 et seulement 2 entiers qui, compte tenu du 2ème membre sont :
1 ; 999
3 ; 333
9 ; 111
27 ; 37
111 ; 9
333 ; 3
999 ; 1
En appelant ces termes (a ; b) tu as à résoudre le système :
------------------------------
x - y = a
x^2 + x.y + y^2 = b
------------------------------
soit :
3.y^2 + 3.a.y + y^2 = b => racines réelles si b >= (a/2)^2
Il reste donc à tester :
1 ; 999
3 ; 333
9 ; 111
Je te donne les réponses, car je sais déjà que tu vas me remercier par post :
Rép. SE : (12 ; 9) ; (-9, -12) ; (10 ; 1) ; (-1 ; -10)
NB : Il y a probablement plus simple. En particulier, je n'ai pas réussi à exploiter le fait que si tu changes x en -y et y en -x (symétrie par rapport à l'origine) on retombe sur la même équation à résoudre.
Euh ! avant de recopier, faut p'têt attendre que les autres vérifient, non ?
Bye

cléopatre

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Re : [Résolu] Gauss

Merci beaucoup, je vais y réfléchir et voir si sa marche. Merci de ton aide précieuse.
Juste comment fais tu pour trouver la racines réelles b >= (a/2)^2 ?

Dernière modification par cléopatre (11-11-2006 00:18:43)

john

Invité

Re : [Résolu] Gauss

Pour répondre à ta question... petite rectif. (faute de frappe y --> a) :
3.y^2 + 3.a.y + a^2 = b => racines réelles si b >= (a/2)^2
Il suffit de calculer le discriminant delta. Les racines sont réelles si delta >= 0.
D'où la condition sur a et b.
Bye