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ybebert

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[Résolu] Symetrie d'une courbe par rapport à l'axe YY'

Bonsoir,

Je pense que l'assertion suivante est vraie mais je n'en suis pas sûr:

Une courbe C représentant f(x) a l'axe YY' comme axe de symétrie si et seulement si f(x) est paire.

pour le si c'est évident mais est-ce exact pour le "seulement si" ???

Pour le "seulement si" la démo serait:

YY' axe de symétrie donc aussi médiatrice de A(-x,f(-x)) et B(x,f(x)) 
et si YY' médiatrice de AB il faut que f(-x)  = f(x) pour que AB soit orthogonal à YY'

La démo n'est pas des plus jolies, je trouve ...

Merci de vos réponses.

john

Invité

Re : [Résolu] Symetrie d'une courbe par rapport à l'axe YY'

Je ne répond pas à la question posée mais intuitivement, il me semble que la symétrie est plus forte que la parité. La symétrie ne dépend pas du repère choisi, la parité si.
cos(x) paire
cos(x+Pi/2) impaire
cos(x+Pi/4) ni paire ni impaire
et pourtant, toutes les symétries et anti-symétries de la fonction cosinus se conservent.
Mais je suis dans le doute...
A+

ybebert

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Re : [Résolu] Symetrie d'une courbe par rapport à l'axe YY'

Ok cos(x+pi/2) est impaire mais l'axe YY' n'est pas un axe de symétrie de cette fonction. Donc j'ai un peu de mal à te suivre John quand tu dis : "et pourtant, toutes les symétries et anti-symétries de la fonction cosinus se conservent."

j'aurai tendance à persister sur le bien fondé du "si et seulement si" mais j'aimerai votre avis.
Merci.

john

Invité

Re : [Résolu] Symetrie d'une courbe par rapport à l'axe YY'

je veux dire par là que les symétries sont liées à la forme de la courbe uniquement, alors que la parité est liée à la position des axes de repérage. J'ai précisé que ceci ne répondait pas à ta question. Ceci dit, je pense que ton affirmation tient la route :
Une fonction paire a nécessairement l'axe des y comme axe de symétrie (mais elle peut avoir d'autres axes de sym. exemple le cercle centré sur l'origine).
Réciproquement, une fonction qui a l'axe des y comme axe de symétrie est paire (bien que dans un autre système d'axes elle puisse ne pas être paire).
A+