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Robert PASTOR

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PI et Pythagore

Relation entre Π et le Théorème de Pythagore.

Pythagore dit que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés du triangle rectangle.
Cette formule (a*a + b*b = c*c) a permis la création d'une nouvelle fonction soit l'extraction d'une racine carrée.

Cette formule se vérifie simplement. Il suffit d'imaginer trois carrés - au sens des surfaces - ayant chacun un côté de longueur égale à l'un côté du triangle rectangle. Les surfaces s'ajoutent. C'est le sens de Pythagore.

Pour en venir au lien entre Π et Pythagore, il suffit de se projeter dans la troisième dimension. Au lieu d'ajouter des surfaces comme le propose Pythagore, il suffit d'ajouter des volumes.

En trois dimensions, on considérera un cylindre Cy dont le volume est égal à  Pi*R*R*H où R est le rayon du disque formant une base et H la hauteur du cylindre. Si H est égal à 2*R alors le volume du cylindre Vcy = 2*Pi*R*R*R.

Les deux autres volumes qui se composent algébriquement sont la sphère Sph inscrite dans le cylindre Cy et le cône Co de hauteur H et de base égale au disque du cylindre Cy.

Le volume du cône représente le résultat de la révolution d'un triangle rectangle dont l'un des côtés viendrait couvrir la base du cylindre.
Son volume s'écrit  (1/3)*Pi*R*R*H. Si H=2*R alors le volume du cône devient Vco = (2/3)*Pi*R*R*R.

Si la sphère Sph a un rayon R = H / 2. Le volume de Sph s'écrit Vsph = (1/6)*Pi*(2*R)*(2*R)*(2*R)
soit Vsph = (4/3)*Pi*R*R*R

Donc là où l’hypoténuse s'obtient par une racine carré, PI devrait s'obtenir par une racine cubique.

Cette égalité de volumes entre la sphère , le cône et le cylindre permet d'établir un lien en Pi et Pythagore. Elle est simple à expérimenter. Grâce à une simple expérience de vases communicants présentée au Palais de la découverte. Il faut de l'eau et des formes, un tuyau pour transvaser l'eau de la sphère en direction du cylindre évidé par le cône.

Dans la démonstration, l’hypoténuse de Pythagore dans un espace Euclidien est remplacée en trois dimensions par une formule liant des formes du plan telles qu'un cercle, un disque, un triangle rectangle, des formes de l'espace tridimensionnel soit un cône et un cylindre et pour aboutir finalement à la forme d'une sphère.