Signe de la dérivé et sens de variation [Résolu]

Maryem92 · 11-12-2010 23:52:30

Bonsoir, voici l'exercice:

Déterminer la dérivée f', puis le sens de variation de la fonction f proposée.

1) [tex]f\left(x\right)=-3x+\cos \,2x[/tex]

[tex]f'\left(x\right)=-3-2\sin 2x[/tex]

[tex]-1\leq \sin 2x\leq 1[/tex]
[tex]-2\leq 2\sin 2x\leq 2[/tex]
[tex]-5\leq -3-2\sin x\leq -1[/tex]
[tex]-5\leq f'\left(x\right)\leq -1[/tex]

[tex]f'\left(x\right)<0\,donc\,f\,est\,strictement\,décroissante\,sur\,R[/tex]

Pour la dérivée et le sens de variation, pas de problème. Mais afin d'enrichir mes connaissances, je voudrais faire en plus le tableaux des variations mais je n'y arrive pas , j'aurais donc besoin d'aide pour cela.

Merci d'avance.

Dernière modification par Maryem92 (12-12-2010 09:58:42)

thadrien · 12-12-2010 00:01:37

Salut,

Ta dérivée est fausse. La bonne dérivée est :

[tex]f'\left(x\right)=-3+2\sin 2x[/tex]

Sinon, le reste est bon.

Une fois que tu as le domaine de définition de la fonction (ici : [tex]]+\infty;-\infty[[/tex]), et le signe de la dérivée partout sur ton domaine (ici strictement négatif), il ne te reste plus qu'à t'inspirer de cet exemple : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ation.html

A+

Maryem92 · 12-12-2010 00:12:56

Oui oups voilà erreur corrigée.

yoshi · 12-12-2010 08:15:32

RE,

Encore faux !
Si je ne m'abuse : [tex](\cos x)' = - \sin x[/tex], s'pas ....

@+

Maryem92 · 12-12-2010 10:00:47

Bonjour, c'est recorrigé mais je ne comprend pas trop ton explication thadrien, je suis d'accord pour + l'infini et - l'infini mais que faut il mettre entre ces deux valeurs ?

Merci d'avance.

Dernière modification par Maryem92 (12-12-2010 10:05:17)

freddy · 12-12-2010 10:04:55

Salut,

et bien, pour [tex]-\infty < x < +\infty,\;f'(x)\ < 0[/tex].

Voilà ce que tu as montré.

Donc tu mets le signe "-".

Dernière modification par freddy (12-12-2010 10:05:33)

Maryem92 · 12-12-2010 10:15:18

ok merci.

Maryem92 · 12-12-2010 10:33:29

Ensuite, 2) [tex]f\left(x\right)=\frac{2x-3}{x+1}[/tex]

[tex]f'\left(x\right)=\frac{5}{{\left(x+1\right)}^{2}}[/tex]

5>0 et [tex]{\left(x+1\right)}^{2}[/tex] >0 donc f'(x)>0
Ce qui induit que f est strictement croissante sur ]-oo;-1[ et sur ]-1;+oo[

Voila je suis a nouveau bloqué pour faire le tableau de variation.

Merci d'avance.

freddy · 12-12-2010 10:43:56

Re,

sur le tableau de variation tu mets :
x : - infini -1 + infini
f' + ❘ ❘ +
f ➚ ❘ ❘ ➚

Tout ça à mettre dans un tableau.

- 1 est une valeur interdite, puisque ta fonction f est définie partout sauf en ce point. Il faut que cela apparaisse bien dans le tableau de variation.

Il faut enfin que tu complètes le tableau des valeurs prises par f(x) quand x est compris entre - infty et - 1, puis - 1 et + infty. Il n'y a que 4 valeurs à indiquer, puisque, comme tu l'as montré, la fonction est strictement croissante sur son domaine de définition.

Les as tu trouvé ?

Dernière modification par freddy (12-12-2010 10:46:25)

Maryem92 · 12-12-2010 14:55:30

Re,

Logiquement je pense que les 4 valeurs en partant de la gauche devrait être -oo +oo -oo +oo

Mais ce que je trouve étrange c'est quand je calcule la limite en +oo et en -oo de f(x) je trouve 2 ce qui est en contradiction avec mes valeurs précédentes.

freddy · 12-12-2010 15:22:17

Re,

"logiquement" est aussi faux que "évident" ...

2 contredit tes valeurs précédentes : eh oui, la calculatrice calcule bien.

En fait, tu dois calculer 4 limites : vois tu lesquelles ?

yoshi · 12-12-2010 15:33:31

Re,

Pour les limites en +-oo, on procède comme ça :
[tex]\frac{2x-3}{x+1}=\frac{x\left(2-\frac 3 x\right)}{x\left(1+\frac 1 x\right)}=\frac{2-\frac 3 x}{1+\frac 1 x}[/tex]
et dans les deux cas on constate que, oui, f(x) tend vers 2...
Je n'ai pas trouvé la contradiction avec ttes "valeurs précédentes" (je ne les ai pas trouvées) : y = 2 est asymptote horizontale et quand x tend vers +-oo, f(x) se rapproche de plus en plus de l'asymptote donc de 2...
Trace donc ta courbe !!!

@+

PS :
Ah... valeurs : -oo +oo -oo +oo ?
C'est faux !

[EDIT]freddy qui a raison m'a devancé...

Dernière modification par yoshi (12-12-2010 15:35:55)

Maryem92 · 12-12-2010 18:39:36

ok merci sinon pour les 2 autres limites restantes je ne vois pas du tout.

yoshi · 12-12-2010 20:07:51

RE,

Les limites en -1- et -1+ ?
Le dessin te montre te les montre, non ?

Si tu fais tendre x vers -1 par valeurs inférieures à -1 :
2x -3 tend vers -5
x+1 tend vers 0 par valeurs négatives...
Donc [tex]\frac{2x-3}{x+1}[/tex] tend vers ... ?

Si tu fais tendre x vers -1 par valeurs supérieures à -1 :
2x -3 tend vers -5
x+1 tend vers 0 par valeurs positives...
Donc [tex]\frac{2x-3}{x+1}[/tex] tend vers ... ?

@+

Maryem92 · 14-12-2010 21:10:37

ok merci, j'ai compris maintenant.

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