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Mlle-Marjow

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Dm fonction 156p52

Bonjour, gros probleme pour un dm, impossible de faire le dernier exercice ... J'espére que vous pourrez m'aider. Voici l'enoncé :

On désigne par f la fonction numérique défini par : f(x) = 2x - sin x
et on appelle C sa courbe representative dans un repére orthornormé (O,i,j). L'objet de cet exercice est une etude precise de la fonction f et de sa courbe representative C

1) Calculer la derivée de f et en deduire le sens de variation de f sur R. Montrer que pour tout x de R : 2x-1 ≤ f(x) ≤ 2x+1
En deduire les limites de f lorsque x tend vers + ∞ et vers - ∞

( je trouve une dérivée de f'(x) = 2- cos x : est -ce juste ? et puis apres je bloque completement ...)

2) On appelle D1 et D2 les droites d'equations respectives :
y = 2x -1   et y = 2x + 1
Determiner les points communs a C et D1 d'une part, a C et D2 d'autre part. Preciser les tangentes a C en ces points.

3) Etudier la parité de la fonction f.
Calculer f(x+2π) en fonction de f(x).
Par quelle transformation géométrique passe t-on de la partie de C representant la restriction de f à R+ à la partie de C representant la restriction de f à R- ?
Par quelle transformation géométrique passe t-on de la partie C representant la restriction de f à [-π;+π] à la partie de C representant la restriction de f à [-π + 2kπ; π + 2kπ] ? (k appartient a Z)

4) Tracer avec precision sur papier millimétré dans le repere (O,i,j) (unité 2cm) la courbe C sur l'intervalle [0, π].
Determiner et tracer les tangentes au point O et au point A d'abscisse π, tracer egalement D1 et D2.
Indiquer l'allure de la courbe C sur [-π; 3π] (sur un autre graphique)

Je vous remercie d'avance pour votre aide qui me sera surement tres précieuse.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Dm fonction 156p52

Bonjour,

Et bienvenue sur BibM@th...
1. Dérivée : c'est bon...
    Étant donné que -1<= cos x <= 1 tu vois bien que ta dérivée est toujours strictement positive.
    La conclusion pour f s'impose...
    Tu sais aussi -1 <= sin x <= 1 : tu en déduis que -1 <= -sin x <= 1
    Et tu n'as plus qu'à ajouter 2x à chaque membre...
    Limites en +oo et -oo : l'encadrement est là pour ça...
 
2. Intersections
    a) Avec y = 2x-1
        On obtient   :  [tex]2x-\sin x = 2x-1 \Leftrightarrow \sin x = 1[/tex]
        Et le sinus étant défini à [tex]k \in \mathbb{R},\;k\pi[/tex] près...
    b) avec y = 2x+1 : même procédure

3. Parité.
    [tex]f(-x)=-2x-\sin(-x) \Leftrightarrow f(-x)=-2x+\sin(x)  \Leftrightarrow f(-x)=-(2x-\sin(x)) = -f(x)[/tex]
    La fonction est impaire.
    [tex]f(x+2n)=2(x+2n)-\sin(x+2n) \Leftrightarrow f(x+2n)=2x+4n-(\sin x \cos{2n}+\cos x \sin{2n})[/tex]
    D'où :
    [tex]f(x+2n)=2x+4n-\sin x \cos{2n}-\cos x \sin{2n} \Leftrightarrow f(x+2n)=2x+4n-\sin x(1-2\sin^2 n)-2\cos x \sin n \cos n  [/tex]

    [tex]f(x+2n)=2x+4n-\sin x+2\sin x\sin^2 n-2\cos x \sin n \cos n  \Leftrightarrow f(x+2n)=2x-\sin x+4n+2\sin n(\sin x \sin n - \cos x \cos n) [/tex]
    Et enfin :
   [tex]f(x+2n) =f(x)+4n-2 \sin n \cos(x+n)[/tex]
    Bon, ça me paraît bizarre, mais j'ai refait 3 fois les calculs sans trouver d'erreur...
    Par quelle transformation géométrique passe t-on de la partie de C représentant la restriction de f à R+ à la partie de C représentant la restriction de f à R- ? Symétrie centrale de centre O (cf parité).
    Par quelle transformation géométrique passe t-on de la partie C representant la restriction de f à [-π;+π] à la partie de C representant la restriction de f à [-π + 2kπ; π + 2kπ] ? (k appartient a Z)
    Je dirais (et là, je suis gêné par la question : si qq d'autre pouvait se pencher dessus aussi, ce serait avec plaisir !) :
    Une translation ? de vecteur directeur à déterminer...

4. Si par déterminer, on entend calculer :
    coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse n  :  f'(n) = 2 - cos n
    Ordonnée du point d'abscisse n : f(n) = 2n - sin n
                                         

@+

[EDIT]
Si [tex]n=\pi, \;f(x+2n)=f(x+2\pi)=f(x)+4\pi[/tex]
On aurait donc une translation de vecteur [tex]\vec{V}(2\pi\;;\;4\pi)[/tex].
J'ai essayé de couper le graphique dans l'intervalle [tex][0\;;\;2\pi][/tex] puis de le coller sur [tex][-2\pi\;;\;0][/tex], avec la translation ad hoc, ça marche...
Il n'empêche que la question est bizarrement posée.

Personne, pour une autre éclairage ? Damned ! Fred, freddy, JJ, Roro, JeanMars and co... ou êtes-vous ?

Dernière modification par yoshi (08-11-2010 10:46:20)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Dm fonction 156p52

Re,

Melle Marlow ne s'est pas montrée très empressée à venir chercher sa réponse ou n'a pas daigné le faire savoir...
Tant pis, sujet fermé.
A l'avenir, je ne répondrai plus à tout sujet ouvert par cette demoiselle.

@-