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emleme

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DM.3ème : L'arbalète de Léonard (urgent) [Résolu]

Bonjour,
je n'ai pas du tout compris comment il fallait faire.
L'énoncé est :

Léonard de Vinci au 15 e siècle s'est intéressé aux lunules. Il a complété la « collection » commencée par Hippocrate (au 5 e siècle avant JC). Parmi les 172 lunules qu'il a décrites et dessinées, l'une pourrait s'appeler l'arbalète de Léonard. Nous vous donnons son dessin, ses dimensions principales et des éléments de sa construction.

1) Un cercle de diamètre AB

2) Un cercle de rayon AB, de centre A

3) Un angle de 45°

4) Un rectangle de largeur AC et de longueur AB

5) Une symétrie axiale

Calculer l'aire de l'arbalète de Léonard.

J'espère que vous pourrais m'aider.
Merci, d'avance.

Dernière modification par emleme (17-10-2010 18:26:40)

yoshi

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Re : DM.3ème : L'arbalète de Léonard (urgent) [Résolu]

Bonsoir emleme,

Bienvenue sur BibM@th...
Tu fais jouer la concurrence ? Cf http://carremaths.yellis.net/phpBB2/vie … 7581dfb733.

Ce soir, je n'ai plus le temps et plus vraiment l'envie : s'il est encore temps, je verrai demain... Notre charte précise qu'il n'est pas "utile" de dire c'est urgent, et même vivement déconseillé...

Comme je suis bon prince, voilà de quoi te lancer :
           

@+

yoshi

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Re : DM.3ème : L'arbalète de Léonard (urgent) [Résolu]

Bonjour,

Comme dit freddy : "Pour l'honneur de l'esprit humain !"...

A cause de la symétrie, les 2 parties vertes 1 et 2 sont obtenues à partir d'un 1/4 de disque de rayon 20, auquel on retire 1/2 disque de rayon 10 et un triangle rectangle et isocèle d'hypoténuse 20 et de hauteur 10.
Soit :
[tex]A_v=\frac{\pi \times 20^2}{4}-\left(\frac{\pi \times 10^2}{2}+\frac{20 \times 10}{2}\right)=100\pi-(50\pi+100)=50\pi-100[/tex]

Partie rouge.
Elle est composée de deux demi-rectangles 20 x 5 auxquels on retire l'aire comprise entre un arc et une corde d'un 1/4 de disque de rayon 10 .
Aire demi-rectangle 20 x 5 = 100.
Aire blanche.
Elle est obtenue à partir d'un 1/4 de disque de rayon 10 auquel on retire un triangle rectangle et isocèle de côté 10.
Soit :
[tex]A_r=\left(20 \times 5-\left({\frac{\pi \times 10^2}{4}-\frac{10 \times 10}{2}\right)\right)\times 2=(100-(25\pi-50))\times 2=(150-25\pi)\times 2=300-50\pi[/tex]

D'où Aire cherchée :
[tex]Aire_{Arb}=A_v+A_r =50\pi-100+300-50\pi=200[/tex].
L'aire de l'arbalète est donc 200 cm².

Elle est indépendante de [tex]\pi[/tex] et égale à l'aire du rectangle ABCD, ce qui tendrait à confirmer ce que je soupçonnais, à savoir que les aires vertes peuvent combler exactement les "blancs" du rectangle.
J'aimerais pouvoir le prouver sans calculs.
J'y réfléchis...

@+

emleme

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Re : DM.3ème : L'arbalète de Léonard (urgent) [Résolu]

Bonjour,

Désolée pour le "urgent" ...
Et, non, je ne fais pas jouer la concurrence, je partage juste cette adresse avec une amie qui est aussi perdue que moi (dans la même classe), et l'on a décidé de ne pas demander au même site.

Sinon, je vous remercie, je vais essayer de le refaire pour pouvoir comprendre.
Encore merci.

@+

yoshi

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Re : DM.3ème : L'arbalète de Léonard (urgent) [Résolu]

Re,

Alors, j'espère que l'explication du pourquoi de chaque calcul te paraîtra claire.
Je crois avoir suffisamment détaillé le tout...

@+

emleme

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Re : DM.3ème : L'arbalète de Léonard (urgent) [Résolu]

Re-bonjour,

J'ai réussi à refaire les calculs et tout, et à rédiger à ma manière, donc merci pour ça.

Et aussi, sur les quatre exercices du DM, il y en a un autre que je n'ai pas trop compris, enfin, je ne suis pas sûre.
L'énoncé est :

" Pour construire des figures géométriques, on ne dispose que de sept allumettes, chacune mesurant exactement 3cm.
Le but est de placer le milieu de [AB] de longueur 11.5cm avec pour seuls outils les sept allumettes.
Représentez en couleur la position des sept allumettes sur un dessin à l'échelle 1 et justifiez votre construction. "

Voilà, si vous pouviez m'aider encore une fois, ce serait très gentil.
Merci d'avance.

@+

yoshi

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Re : DM.3ème : L'arbalète de Léonard (urgent) [Résolu]

Re,

Tu aurais dû ouvrir une autre discussion avec un titre accrocheur : On me demande de jouer avec des allumettes !?
Un sujet = une discussion....
Je pense avoir la (ou une) solution.
Je vais te donner les indications pour trouver.
Soit un segment [AB] de 11,5 cm de long.
Problématique : trouver un point C que l'on rejoint depuis A et B avec des allumettes pour former un triangle.
Il te faut un minimum de 4 allumettes pour avoir AC + BC parce que le triangle n'existe que si CA + CB > AB (inégalité triangulaire).
Avec les allumettes restantes, tu pars du milieu N du côté [CA] (ou [CB], au choix) parallèlement à l'autre côté, et tu couperas le 3e côté [AB] en son milieu (Droite des milieux 4e ou Théorème de Thalès, au choix).
Il doit t'être évident maintenant que
* [MN] est constitué d'un nombre entier d'allumettes, donc soit 1 soit 2,
* [CA] est composé d'un nombre pair d'allumettes, sinon comment en trouver le milieu ?
* [CB] aussi est composé d'un nombre pair d'allumettes, parce que, droite des milieux, MN = CB/2...

Or, tu ne pas utiliser moins de 4 allumettes pour construire ton triangle.

Vois-tu où je veux en venir ?

Bon, j'ai un dessin en réserve, hein... Mais cherche un peu : tu verras que tu en seras que davantage satisfait !

@+

emleme

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Re : DM.3ème : L'arbalète de Léonard (urgent) [Résolu]

Re,

J'avais pensé à une autre solution, mais en fait ça ne marche pas, parce que je devrais coupé la 5e allumettes en deux :(

J'ai pris quatre allumettes pour avoir AC et BC, donc pour faire le triangle ABC isocèle en C.
Mais, après moi j'avais tracé la médiatrice, donc [CM], en disant :
La droite qui coupe un segment perpendiculairement et en son milieu est le médiatrice de ce segment.
Donc, [CM] est la médiatrice de [AB]
Or, si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors ce point est équidistant des deux extrémités de ce segment
Donc, M est le milieu de [AB].

Je vais faire comme vous avez dit, avec 5 allumettes et tout.
Voilà, merci encore.

@+

Dernière modification par emleme (20-10-2010 20:40:35)

yoshi

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Re : DM.3ème : L'arbalète de Léonard (urgent) [Résolu]

Re,

Bin moi, j'ai compris qu'il fallait utiliser les 7 allumettes...
J'ai l'impression que ta méthode ne colle pas parce que ton segment [CM] n'est pas construit avec un nombre entier d'allumettes
AM = 5,75, AC = 6 d'où CM² = AC²-AM² = 36 - 33,0625 = 2,9375 d'où CM environ 1,7 cm...
Autre point à soulever : ton triangle est très plat --> l'angle à la base de ton triangle isocèle mesure environ 17°, c'est très peu.
Et ta médiatrice tu la construis comment avec des allumettes ?

Je te propose ça :

La 7e allumette (exactement la moitié de 2 allumettes) en pivotant à partir de N milieu de [CB] va venir s'appliquer exactement sur le milieu M de [AB].

Je viens de voir une objection à mon dessin, il y aurait un 2e point de contact possible sur [AB] de l'autre côté du pied  de la hauteur relative à [AB] et issue de N... j'appelle M' ce point de contact.
Il est situé entre M et B... un seul des deux points est le bon...
Ce sont les points d'intersection de (AB) avec le cercle de centre N et de rayon 3 : il n'y a que 2 points d'intersection d'une droite avec un cercle.
Un des 2 points est donc le milieu.
Pourquoi ?
Si non la parallèle à (CA) passant par N couperait [AB] en M" et NM" = AC/2 = 3 est aussi sur le cercle, ça ferait 3 points d'intersection...
Traçons la hauteur [CH] relative à [AB] et la hauteur  [NK]...
M est placé entre H et K, c'est lui le milieu.
Si je voulais justifier correctement, je devrais réfléchir davantage... Plus le courage ce soir...

@+

emleme

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Re : DM.3ème : L'arbalète de Léonard (urgent) [Résolu]

Re,

ok, je vais le rédiger à ma manière.
Merci.

Je vais changer le titre de la discussion par contre, si c'est possible.

@+

Dernière modification par emleme (21-10-2010 16:47:17)

batata

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Re : DM.3ème : L'arbalète de Léonard (urgent) [Résolu]

309 a joffre non ?

emleme

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Re : DM.3ème : L'arbalète de Léonard (urgent) [Résolu]

Toi aussi.