Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Fred

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Le concierge

Salut,

  Entre septembre et juin, quelqu'un aurait pu poser le problème suivant dans le forum "Entraide Supérieur".
Pour ne pas refroidir les neurones, je vous le pose comme énigme (attention! problème de proba!).

Un concierge rentre d'une soirée. Il dispose de $n$ clefs dont une seule ouvre la porte de son domicile,
mais il ne sait plus laquelle.
1. Il essaie les clefs les unes après les autres en éliminant après chaque essai la clef qui n'a pas convenu.
Trouver le nombre moyen d'essais nécessaires pour trouver la bonne clef.
2. En réalité, la soirée était bien arrosée, et après chaque essai, le concierge remet la clef essayée dans le trousseau. Trouver le nombre moyen d'essais nécessaires pour trouver la bonne clef.

Qu'en pensez-vous?

Fred.

nerosson

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Re : Le concierge

Salut, Fred,
D'abord, pourquoi "un concierge" ? Ca pourrait aussi bien être toi, ou Yoshi, ou Freddy : ça doit bien vous arriver de rentrer le soir après une soirée bien arrosée....

Pour la première question : il y a n clés utilisées successivement.
1 - Réussir peut aussi bien arriver au premier essai qu'au n ième,
2 - réussir peut aussi bien arriver au deuxième essai qu'au n-1 ième,
3 - réussir peut aussi bien arriver au troisième essai qu' au n-2 ième,
il me semble donc que la probabilité moyenne est de n divisé par 2.

Pour la deuxième question, je suis un peu perplexe, parce que les possibilités vont de 1 à l'infini (limité par la durée de vie du "concierge").
Quelqu'un d'autre aura sûrement répondu avant qu'il me vienne une idée (là aussi ça peut varier de une minute à l'infini, sauf que ma durée de vie risque d'être plus courte que celle d'un concierge).

Dernière modification par nerosson (26-07-2010 14:31:16)

freddy

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Re : Le concierge

@nerosson !

Mon ami, sache que je ne bois pas (ni ne fume d'ailleurs ...). La seule et unique fois où j'étais sâoul remonte à mes 16 ans, car je voulais faire comme tout le monde et faire semblant d'aimer l'alcool.

Donc seule ma mémoire peut me trahir, pas l'alcool ... (les femmes aussi, mais c'est hors sujet !).

Cela étant, dans l'énoncé du pb, ce qui compte est que le jeune homme  cherche la bonne clef à tâton (ça pourrait être par nuit noire), c'est tout !

Vu ?

Allez, bise au chien, remonte le chat et caresse à la pendule ...

Dernière modification par freddy (26-07-2010 16:29:49)

nerosson

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Re : Le concierge

Salut, Saint Freddy,

Je constate d'abord que tu n'as pas mis en doute ma réponse à la première question. Ca a du te faire bien de la peine.

A 16 ans, je n'avais encore pris aucune cuite. Par la suite....

Pour moi, je ne suis pas concerné par le problème. Dans un cas comme celui-là, je n'ai besoin ni de frapper, ni d'ouvrir : ma femme est derrière la porte avec le rouleau à pâtisserie : c'est elle qui ouvre et qui frappe !

freddy

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Re : Le concierge

Ah mon vieil ami ...

je n'ai pas remis en cause le début, car je crois que tu n'as pas compris le sel du sujet :-)))

Ne te fais pas de souci, ça m'arrive aussi ;-)

le pb est : quelle est la meilleure stratégie à m'être au point pour trouver la bonne clef le plus vite possible (avant que Madame ne se réveille avec son rouleau à patisserie à la main ...)

Bb

nerosson

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Re : Le concierge

Mon bon Freddy,

En ce qui concerne la première question (la seule où je suis intervenu), je crois que c'est toi qui te mélanges les pinceaux. Il n'y a pas plus de sel que de beurre au, à la cuisine: Fred a bien dit : "c'est une question de proba" : le type essaye les clés les unes après les autres, sans jamais reprendre la même : il peut y arriver du premier coup comme au dernier. Si on recommence cette opération un très grand nombre de fois, à quelle moyenne arrivera-t-on ? Point final. les histoires salées n'ont pas cours ici. Yoshi veut pas.

Prends pitié de mon ignorance et explique-moi le sel.

yoshi

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Re : Le concierge

Re,

Si j'ai bien compris, c'est dans le même esprit que le sujet "Entretien d'embauche chez PetitMou" :
2 boules et 100 étages on demande la stratégie optimale pour effectuer, en moyenne, le moins de lancers
possibles...

Non ?
On remplace "casser la boule" par "trouver la clé"...

@+

freddy

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Re : Le concierge

Re,

oui, c'est cela !

freddy

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Re : Le concierge

Hello,

en fait, non, car Fred ne demande pas de trouver une stratégie optimale, mais il demande simplement de calculer dans les deux cas une espérance mathématique.

PREMIER CAS

la variable aléatoire X dont la valeur p  est comprise entre 1 et n se définit par : la bonne clé est trouvée à l'essai n° p.

On a par construction :

[tex]\Pr(X=1)=\frac{1}{n} [/tex]

[tex]\Pr(X=2)=\frac{n-1}{n}\times \frac{1}{n-1}=\frac{1}{n} [/tex] puisque y arriver du second coup suppose qu'on n'ait pas trouver du premier (et le nombre de clé diminue d'une unité à chaque fois).

[tex]\Pr(X=3)=\frac{n-1}{n}\times \frac{n-2}{n-1}\times \frac{1}{n-2}=\frac{1}{n} [/tex]

...

[tex]\Pr(X=p)=\frac{n-1}{n}\times \frac{n-2}{n-1}\times ...\times  \frac{1}{n-p+1}=\frac{1}{n} [/tex]

Le nombre moyen d'essai est alors de :

[tex]\overline{X} = \sum_{p=1}^n\,p\times \frac{1}{n}=\frac{n+1}{2}[/tex]

Bravo à nerosson au passage ...
SECOND CAS

La probabilité de trouver la bonne clé reste égale à [tex]\frac{1}{n}[/tex] puisque il n'y a qu'une seule bonne clé.

Soit Y la variable aléatoire qui donne combien d'essai il a fallu faire pour trouver la bonne clé. Manifestement, Y prend ses valeurs dans [tex]N^*[/tex].

Y suit une loi géométrique de paramètre [tex]p=\frac{1}{n}[/tex]

Le nombre moyen d'essai est égal à [tex]\overline{Y}=\sum_{k=1}^{\infty}\,k\times \left(1-\frac{1}{n}\right)^{k-1}\frac{1}{n}=n[/tex]

Conclusion : l'alcool double le risque de ne pas dormir dans son lit le soir même !

nerosson

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Re : Le concierge

Mon bon Freddy,

A voir l'heure de ta dernière intervention, j'en conclus que, même à jeun, tu n'es pas foutu de te servir de tes clés....

T'es vraiment un cas ! ! !

P.S. Yoshi, tu pourrais pas faire quelque chose pour que j'aie pas l'air de bégayer ?

Dernière modification par nerosson (25-08-2010 12:22:10)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Le concierge

Re,

Mon bon nerosson, non, je ne peux rien faire...
Mais oui, je t'ai déjà dit qu'il faut laisser du temps du temps et que ça s'arrangera tout seul...
Le post en double est "un fantôme", le supprimer supprime donc les 2, je l'ai appris à mes dépends.

@+

freddy

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Re : Le concierge

Re,

Mon bon nerosson, non, je ne peux rien faire...
Mais oui, je t'ai déjà dit qu'il faut laisser du temps du temps et que ça s'arrangera tout seul...
Le post en double est "un fantôme", le supprimer supprime donc les 2, je l'ai appris à mes dépends.

@+

Que nenni, mon ami. A ces heures là, je suis allongé sur mon lit, l'ordinateur portable branché, les neurones en action, un bloc note + stylo à main droite, la radio en sourdine à oreille gauche, et nul pour m'emm...

Big bisou