Une pyramide "imagémathise" la somme de la somme des n 1ers entiers.

karlun · 26-05-2010 21:05:36

Bonjour à tous,
Imagémathisation.

La logique n’appelle aucune interprétation. (ouf!)
Imageons-la.

Une pyramide "imagémathise" la somme de la somme des n 1ers entiers.
Et une pyramide à gradin encore!(pas une en coin, ce qui ravira les amateurs).

Imagémathivons donc!

Les suites d’entiers m'intéressent.
Mais je n’ai, dans ma boite à calcul, que peu de matériel (des +,-,* et / et encore un peu d'alphabet); aussi je n’arrive pas à « formuler » de manière claire (et orthodoxe) mes trouvailles eh! je veux dire mes « cherchailles ».

J’ai chercher ici quelques choses trouvées là sous mes yeux: (venues à l’idée).
Enfin? si je ne me trompe pas?

-La somme des n 1ers entiers + la somme des (n-1) 1° entiers = somme des 1° entiers impairs (= [tex]{n}^{2}[/tex] ). [tex]\sum^{n}_{k=1}k+\sum^{n-1}_{i=1}i\,\,=\,\,{n}^{2}[/tex]

-La Somme des n 1ers impairs + somme de la somme des (n-2) 1ers entiers = somme de la somme des premiers entiers.
[tex]\sum^{n}_{k=1}\left(2k-1\right)\,\,+\,\,\sum^{n}_{k=1}\sum^{k-2}_{i=1}i\,\,=\,\sum^{n}_{k=1}\sum^{k}_{i=1}i[/tex]
-Et d’autres encore…

Mais:
-Cette somme de la somme des premiers entiers est représentable sous forme d’une pyramide à gradins de cube1.

Par exemple:

Pour n=4 =>

Une aire de 4 cube1 de côté = 16
+
Une aire de 2 cube1 de côté = 04
+
Une aire de 0 cube1 de côté = 00 Total = 20 = [tex]\sum^{n}_{k=1}\sum^{k}_{i=1}i[/tex]

Les aires (carrées) s'empilent les unes au dessus des autres.

Pour n=5 =>

Une aire de 5 cube1 de côté = 25
+
Une aire de 3 cube1 de côté = 09
+
Une aire de 1 cube1 de côté = 01 Total = 35

Pour n=6 =>

Une aire de 6 cube1 de côté = 36 Une aire de n cube1 de côté = [tex]{n}^{2}[/tex]
+
Une aire de 4 cube1 de côté = 16 Une aire de (n-2) cube1 de côté = [tex]({n-2})^{2}[/tex]
+
Une aire de 2 cube1 de côté = 04 Une aire de (n-4) cube1 de côté = [tex]({n-4})^{2}[/tex]
+
Une aire de 0 cube1 de côté = 00 Total = 56 Une aire de (n-6) cube1 de côté = [tex]({n-6})^{2}[/tex]

Etc. etc.

Mais j’ai des difficultés à rendre cette « cherchaille » en formule mathématiquement lisible.

Y a du pair et de l'impair qui se nouent; comment l'écrire?

Cherchaillement vôtre.

yoshi · 27-05-2010 15:03:06

Re,

Je réfléchaille, parce que ta question :

Y a du pair et de l'impair qui se nouent; comment l'écrire?

est loin d'être évidente en - en maths - si tu veux une seule et même formule générique...
Par contre via un langage de programmation ou même un tableur grâce à la fonction a modulo b qui donne le reste de la division euclidienne de a par b.
Ici, il s'agirait de n modulo 2... :
Pour faire des mathsinfo :
[tex]\sum_{k=1}^n\left(\sum_{i=k\,mod\, 2}^k i\right)[/tex]
A priori, ça devrait être ça...

En maths pures, il y aurait bien la partie entière de x notée E(x)...

Pour a/b positif, E(a/b)= quotient euclidien de a par b
Donc le a mod b s'écrirait a - b * E(a/b), soit ici : k - 2 * E(k/2)... Pas vraiment agréable.

-La somme des n 1ers entiers + la somme des (n-1) 1° entiers = somme des 1° entiers impairs (= n²)

C'est vrai
[tex]\sum_{k=1}^{n-1} k+\sum_{k=1}^n k = \sum_{k=1}^{n-1} k+\left(\sum_{k=1}^{n-1} k\right)+n=\left(2 \sum_{k=1}^{n-1} k\right)+n=n(n-1)+n = n^2[/tex]
Et le n_ième nombre impair c'est 2n-1...

@+

karlun · 27-05-2010 19:40:47

Salut,

-La somme des n 1ers entiers + la somme des (n-1) 1° entiers = somme des 1° entiers impairs (= n²)

Eh oui!

Et ça apparait sous la forme d'un mur.

première colonne + 2° colonne (on l'empile sur la première) et c'est une surface; un mur verticalement "édifié".

Ce qui m'apparait c'est qu'ici n et (n-1) (pair, impair,....) se "marie" en somme.

Ne pourrait-on imiter ce "mariage"?

Un mur en guise de mariage! édifiant non?

mûrement vôtre

karlun · 05-06-2010 17:39:19

Salut,

Comment traduire en une formule mathématiquement acceptable les empilements (verticaux) des couches (carrées) de cube1 équivalant à la somme de la somme des n premiers entiers. (comme présenté ci-dessus)

Pas ravi de ne pouvoir établir une équation rendant compte de cet objet, ça trottait et il m’amusait (et m’amuse encore) d’y réfléchir.

Il m’est venu (sans aide et vous allez sans doute rire de ma naïveté) de pouvoir traiter le « nœud des paires et impaires » via les fonctions circulaires.

Hahahahaha! Il suffisait d‘y penser. (et, tous, vous n’osiez le suggérer tant c’était évident) ;-)

Les fonctions circulaires en guise de séquenceur paire-impaire.

Un sinus par ici (plutôt pour les impaires).
Un cosinus par là (plutôt pour les paires).

Et j’arrive à une formule totalisant les empilements de cube1 équivalant à la somme de la somme des n premiers entiers. (La formule est à ch… mais bon!)

Je ne veux rien cacher de ces cherchailles mais, comme dans un post précédent, j’aimerais nous lancer à la recherche de différentes méthodes de calcul de la somme de la somme des n premiers entiers.

Je vous pousse un peu (si vous voulez)… On est au café non?

Il risque de déferler quantité d’autres approches que je me réjouis de découvrir et que j’essaierai de comprendre (vu mes petits moyens).

La formule?

1) le nombre de couche: n/2+sin^2(n*pi/2)*½
2)Calcul de la pyramide lissée: n^2/3*(hauteur=…….)
3) le reste des cubes lissés: …………

A bientôt

PS: Je corrige la ligne sin(...) par sin^2(...). Encore désolé.

Dernière modification par karlun (05-06-2010 18:58:10)

yoshi · 05-06-2010 18:16:02

Salut,

Bon, un détail, prends ta calculette et cherche la racine de -1, tu seras édifié...
Parce que la puissance 1/2, c'est la racine carrée et le radicande (quantité sous la radical, la racine) doit être positive ou nulle.

Or, supposons n=3
1. Cas où le /2 donne le quotient décimal exact
sin(n*pi/2) --> sin(3/2 * pi) = sin(3pi/2) = -sin(pi/2) = -1
2. Cas où le symbole désigne le quotient entier
n/3 -->1 mais n/2 --> 1 aussi.
Et quand bien même le quotient existe s'obtient par une touche de calculette ou via l'informatique, cette fonction en tant que telle n'existe pas en maths ou alors je ne la connais pas...
Sinon supposons que ce soit // le symbole. alors dans ce cas il suffit de simplifier la formule que j'ai déjà donnée pour obtenir un reste de 0 quand n est pair et 1 quand n impair...
Bien essayé quand même...
Sinon, il est toujours possible d'écrire :
[tex]f(n)=\begin{cases}formule\; 1, & \text{si }n\text{ est pair} \\formule\;2, & \text{si }n\text{ est impair} \end{cases}[/tex]
Mais évidemment ça ne fait pas ton bonheur...
A la limite, tu peux te consoler en disant qu'il est possible de faire le calcul des volumes de toutes les pyramides (en cube1) du niveau 0 au niveau de ton choix (1 000 000 par ex, et au delà si on est patients) via 4/5 lignes de programmation : c'est quand tu veux !

@+

karlun · 05-06-2010 18:55:59

salut à tous et merci Yoshi pour ta fougue ;-)

Pourquoi ce ton si vif?

Pardon, pardon, pardon!

En retranscrivant la formule j'ai oublié de mettre le sin() au carré

1. Cas où le /2 donne le quotient décimal exact
sin(n*pi/2) --> sin(3/2 * pi) = sin(3pi/2) = -sin(pi/2) = -1

comme on travaille en cube1 et (sin(npi/2)) est au carré le séquenceur fonctionne.

Je vous affirme (enfin si je ne me trompe pas << Errare humanum est... ! >>) que la formule de ces empilements de cube1 introduite sur un tableur te donne la [tex]\sum^{n}_{k=1}\sum^{k}_{i=1}i[/tex] pour n paire ou impaire.

Merci pour le conseil de faire appel à l'ordinateur et à 4, 5 lignes de programmation mais le résultat compte peu tant qu'il est juste et (mon bonheur) qu'il ne s'envole pas dans les limbes théoriques ou les artifices de récurrence (ordinateur).

Tu employais , cher Yoshi, le terme de maths pures... tentons le coup.

Encore désolé pour la fausse piste (sin() au lieu de sin^2() (au carré) que je vais corriger maintenant.

A+

yoshi · 05-06-2010 19:45:35

Re,

Je vais essayer d'user d'une écriture aussi neutre que possible afin de ne pas voir mes propos interprétés dans un sens ou autre.
Ta formule est :
n/2+sin^2(n*pi/2)*½
Le / donne le quotient entier ou le quotient décimal exact ?
Je présume qu'il s'agit de : [tex]\frac n2 + \sin^2\left(\sqrt{n\pi \over 2}}\right)[/tex]...
Voilà ce que j'obtiens en langage Python avec :

for n in range(1,19,2):

    print n, n/2+(sin(sqrt(n*pi/2)))**2

:
n valeur formule
1 1.40254641278
3 2.18117194576
5 2.61064650335
7 3.53009623733
9 4.83604197299
11 6.22177862209
13 7.46302250646
15 8.48006190401
17 9.30674844173

Ce soir, j'ai encore très mal au dos (résultat d'un déménagement jeudi) et je ne peux (ni ose) rester trop longtemps devant mon clavier, alors pour la réflexion, c'est râpé : j'ai le cerveau lent ('reusement, y a pas de vent...).
Donc, peux-tu préciser ce que sont les nombres de la colonne valeur formule ? le nombre de couches ? Là, j'ai un problème...

karlun a écrit :

Je vous affirme (enfin si je ne me trompe pas << Errare humanum est... ! >>) que la formule de ces empilements de cube1 introduite sur un tableur te donne la [tex]\sum^{n}_{k=1}\sum^{k}_{i=1}i[/tex] pour n paire ou impaire.

yoshi a écrit :

karlun a écrit :
-La somme des n 1ers entiers + la somme des (n-1) 1° entiers = somme des 1° entiers impairs (= n²)
C'est vrai
[tex]\sum_{k=1}^{n-1} k+\sum_{k=1}^n k = \sum_{k=1}^{n-1} k+\left(\sum_{k=1}^{n-1} k\right)+n=\left(2 \sum_{k=1}^{n-1} k\right)+n=n(n-1)+n = n^2[/tex]
Et le n_ième nombre impair c'est 2n-1...

@+

PS
A moins que la racine carrée s'applique au résultat du sin² (c'était d'ailleurs ce sur quoi j'étais parti avant)? Si oui, il manque une paire de parenthèses...
Je verrai demain si en reprenant ta formule, une fois que je serai fixé, si on ne peut pas ruser avec les valeurs absolues...

PS2 :
[tex]\frac{n+\left|\sin\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)\right|}{2}[/tex]
A tester

karlun · 05-06-2010 20:33:20

'lut,

Et que ton dos puisse t'oublier ("la santé c'est le silence des organes")

"Je présume qu'il s'agit de : ...
Voilà ce que j'obtiens :
n valeur formule
1 1.40254641278
3 2.18117194576"

Voici un des détails:
Pour ce qui est du jargon... faut m'aider!

la formule: n/2+(sin^2(n*(pi/2)))/2 (est-ce clair? c'est le (sin(n*(pi/2))qui est au carré)

n n/2+sin^2(n*(pi/2))/2

1 1/2+1*(1/2)= 1
2 2/2+0*(1/2)= 1
3 3/2+1*(1/2)=2
4 4/2+0*(1/2)=2
5 5/2+1*(1/2)=3
etc.

1 1 couche 1x1: le cube1
2 1 couche 2x2
3 2 couches: 1 couche 3x3 surmontée d'une couche 1x1(posée en son centre c'est plus joli)
4 2 couches: 1 couche 4x4 surmontée d'une couche 2x2(posée en son centre c'est plus joli)
5 3 couches: 1 couche 5x5 surmontée d'une couche 3x3(posée en son centre c'est plus joli) surmontée d'une couche 1x1(posée en son centre c'est plus joli).

etc.

Voilà résolue la question des couches quelque soit n (paire ou impaire).

Toutes les parties de la formule? mais alors, c'est du tout cuit. Où seront les autres (trouvailles) cherchailles?

Mais, évidemment, si vous insistez.

Bien +

Dernière modification par karlun (05-06-2010 21:28:56)

yoshi · 05-06-2010 21:47:12

Re,

Je ne sais pas si tu as tout lu, mais j'ai revisité ta formule, s'pas (je constate au passage que tu as "subrepticement" ;-) viré la racine carrée : déjà moins lourd)...
Parce que élever un nombre a au carré pour en prendre la racine carrée derrière (bof, bof), c'est par définition |a| valeur absolue de a. Tu as bien demandé qu'on t'aide, non ?

Voilà ce que donne la formule via Python :

n =  0   nombre de couches :  0

n =  1   nombre de couches :  1

n =  2   nombre de couches :  1

n =  3   nombre de couches :  2

n =  4   nombre de couches :  2

n =  5   nombre de couches :  3

n =  6   nombre de couches :  3

n =  7   nombre de couches :  4

n =  8   nombre de couches :  4

n =  9   nombre de couches :  5

n = 10   nombre de couches :  5

n = 11   nombre de couches :  6

n = 12   nombre de couches :  6

n = 13   nombre de couches :  7

n = 14   nombre de couches :  7

n = 15   nombre de couches :  8

n = 16   nombre de couches :  8

n = 17   nombre de couches :  9

n = 18   nombre de couches :  9

n = 19   nombre de couches : 10

n = 20   nombre de couches : 10

n = 21   nombre de couches : 11

n = 22   nombre de couches : 11

n = 23   nombre de couches : 12

n = 24   nombre de couches : 12

n = 25   nombre de couches : 13

n = 26   nombre de couches : 13

n = 27   nombre de couches : 14

n = 28   nombre de couches : 14

n = 29   nombre de couches : 15

Qu'en pense Monsieur ? Trouve-t-il une erreur ?
J'insiste lourdement : il s'agissait de TA formule , je n'ai rien inventé (il aurait fallu que j'y pense !), j'en avais simplifié l'écriture mathématique...

@+

Hé ! Hé !

Mais, évidemment, si vous insistez...

Ça te ferait plaisir ?
Bon ! Alors, même si je (les autres ch'sais pas !) n'en ai pas b'soin : owi, owi, owi, owi !

karlun · 05-06-2010 22:30:16

re,

Ah! ces P.S. je les oublie. (manque de pratique).

Mais,
Ais-je introduit la moindre racine? Non!
Je n'ai donc pas à la corriger subrepticement.
Où as-tu pu lire une racine carrée venant de mon cru?
La valeur absolue est aussi, il me semble, une forme d'artifice (simplification d'écriture).

(Des maths pures! et je suis content)

j'ai usé de la mise au carré du sinus(...) afin de le garder toujours positif ou égal à 0.

0-1-0-1-0-1-....

Pour n=paire (2,4,6,8,102,....) [tex]{\sin }^{2}\left(n\pi /2\right){\,\,\,=\,\,\,{\left(\sin \left(n\pi /2)\right)}^{2}}^{}[/tex] =0 Est-ce vrai?

Pour n impaire: (1,3,9,15,143,...) [tex]{\sin }^{2}\left(n\pi /2\right){\,\,\,=\,\,\,{\left(\sin \left(n\pi /2)\right)}^{2}}^{}[/tex] =1 Est-ce vrai?

Python est fort et ses résultats semble à la hauteur de mes espérances.

Ne pourrais-tu programmer python avec la formule que je propose? mon tableur réussit bien.
Le résultat sera le même.

"Ça te ferait plaisir ?
Bon ! Alors, même si je..."

Tout le plaisir sera, en effet, pour moi comme pour vous sans doute ( pourquoi serait-il contre vous?). Ce ne sont que logiques et nous les suivons; nous ne faisons que les suivre... qui trouve cherche (jeu de piste).
Je prendrais bien un autre café moi! et vous?
Ici, chez vous, c'est chouette.

Garçon!!!!?

ps:" n/2+sin^2(n*pi/2)*½" , voilà,sans doute, où est la maldonne (foutu-ordinateur) tu as probablement lu *½ comme "exposant 1/2". Il s'agit de " x 1/2 ".
L'écrit est mal (et même jamais) entendu (faute d'être lu à haute voix) ;-)

Dernière modification par karlun (05-06-2010 23:31:11)

yoshi · 06-06-2010 07:20:20

Re,

Exact...
Ton 1/2 était pour moi une racine carrée... Mais j'aurais pas dû à cause du *, la multiplication...
Autre raison de ma confusion, le 1/2 était à la fin...

Évidemment que ta formule ne peut que marcher, je n'ai pas besoin de tester :
- un carré étant positif ou nul,
- npi/2 donnant pi/2, pi, 3pi/2 .... ton sinus vaut -1, 0 ou 1. Le carré ramenant tout à 0 ou 1.

La valeur absolue est aussi, il me semble, une forme d'artifice (simplification d'écriture).

Alors ça, c'est plus fort que de jouer au bouchon !
C'est une fonction mathématique en bonne due et forme qui répond à une définition
[tex]\forall\, x\,in\,\R,\;|x| =\begin{cases}\; -x, & \text{si }x\text{ est négatif} \\\;x, & \text{si }x\text{ est }positif}\end{cases}[/tex]
Artifice ???
Dis donc ça à nos élèves de 2nde quand on leur apprend ce que c'est et qu'ils doivent résoudre par ex :
|2x-1]+|x-3| = |3x-5|
Les profs de 2nde aussi seraient ravis d'apprendre qu'ils enseignent des "artifices" !!!...

Si on faisait des calculs sur un temps assez long (100 000 000 d'étages au moins), ta formule de départ serait plus gourmande en temps que celle modifiée : 2 divisions par 2 au lieu d'une seule (j'ai factorisé) et un carré au lieu d'une val. abs.

@+

karlun · 06-06-2010 08:44:16

Bonjour,

La fonction valeur absolue est une fonction mathématique; je perçois son côté « artifice » dans le fait qu’elle retourne radicalement (capricieusement ) en positif. J’ai choisi plutôt le sin()^2 plus libre et plus cohérent avec l’ensemble de l’ouvrage de cube1. « des cube1 et des carrés ».
Employer la fonction valeur absolue ajoute un outil à ma petite trousse de +,-,*,/,sin(),cos()… elle s’alourdit ;-) travaillons léger.

Donc nous sommes tombés d’accord sur le calcul des couches selon la parité ou non de n.

1)NC= le nombre de couche:

[tex]NC=\,n/2+1/2\left({\sin }^{2}\left(n\left(\pi /2\right)\right)\right)\,\,\,\,\,\,ou\,\,\,\,\,\,NC=\,n/2+1/2\,\left|\sin \left(n\left(\pi /2\right)\right)\right|[/tex]

2) VPL=Volume de la pyramide lissée:

VPL [tex]=\,{\left(1/3\right)n}^{2}\left(\left(NC-1\right)+{\left(1/2\right)\sin }^{2}\left(n\left(\pi /2\right)\right)+{\cos }^{2}\left(n\left(\pi /2\right)\right)\right)[/tex]

3) R= le volume du reste des cube1 lissés:

[tex]R=2\left(\left(N{C}^{2}+\left(NC\right){\cos }^{2}\left(n\left(\pi /2)\right)\right)-n\right)\,+\,\left(4/3\right)\,\left(n-2\right)\,+\,\left(8/3\right)\,{\cos }^{2}\left(n\left(\pi /2)\right)\,+\,\left(5/6\right)\,{\sin }^{2}\left(n\left(\pi /2\right)\right)\,+\left(4/3\right){\sin }^{2}\left(n\left(\pi /2\right)\right)[/tex]

=> VPL+R= [tex]\sum^{n}_{k=1}\sum^{k}_{i=1}i[/tex]

J'espère ne pas m'être fourvoyé en recopiant les formules.

A bientôt.

PS: "Si on faisait des calculs sur un temps assez long (100 000 000 d'étages au moins), ta formule de départ serait plus gourmande en temps que celle modifiée : 2 divisions par 2 au lieu d'une seule (j'ai factorisé) et un carré au lieu d'une val. abs."

Sur le tableur le calcul ne souffre d'aucun délai aussi loin que je le pousse... sans doute ne suis-je pas au fait de ce que tu annonces. ;-)

Dernière modification par karlun (06-06-2010 10:21:16)

yoshi · 06-06-2010 10:25:26

Re,

La fonction valeur absolue est une fonction mathématique; je perçois son côté « artifice » dans le fait qu’elle retourne radicalement (capricieusement ) en positif. J’ai choisi plutôt le sin()^2 plus libre et plus cohérent avec l’ensemble de l’ouvrage de cube1. « des cube1 et des carrés ».

Il n'y a pas de côté "artifice" qui tienne à percevoir...

Je ne vois pas en quoi cette fonction est "capricieuse"...
En 2nde, on lie la notion de valeur absolue à la notion de distance :
étant donné un axe x'x muni d'un repère normé (O ; I) et 2 points A et B de cet d'axe d'abscisses [tex]x_A \text{ et }x_B[/tex], on a [tex]d(A \;\;; B)=|x_B-x_A|[/tex].
Autrement dit, la valeur absolue ci-dessus est la longueur du segment [AB].
Alors que [tex]x_B-x_A=\overline{AB}[/tex], (se lit : mesure algébrique de A B).
Laquelle mesure algébrique est positive si xB > xA, négative dans le cas contraire.

Plus libre ? C'est un concept (dans ton acception) mathématique, ça ?
Quant à ton histoire de cohérence (parce que l'intervention du sinus et des multiples entiers de pi/2, ça c'st cohérent avec l'ouvrage cubes et carrés, peut-être ?), c'est de la littérature...
Libre à toi de vouloir prendre "un marteau-pilon pour écraser une mouche" comme disait l'un de mes profs de maths...

Ta pyramide lissée se termine-t-elle en pointe ou pas ?

Pour le reste, je vais rechercher ce que j'avais calculé dans une autre discussion à propos du lissage...

@+

PS

Sur le tableur le calcul ne souffre d'aucun délai aussi loin que je le pousse... sans doute ne suis-je pas au fait de ce que tu annonces. ;-)

Tu as fait les calculs pour n=100 000 000 ?
Je testerai aussi les 2 méthodes plus tard et avec un minuteur.
Pour l'heure, je me dois à ma famille...

karlun · 06-06-2010 11:48:01

R'lut

Cubes et carrés c'est de la littérature sans doute: de la littérature de café encore!
(Et souriant, ils se tapèrent les mains au dessus de la table) ;-)

Je suis d'accord avec tes objections et je retire le mot artifice de mon vocabulaire concernant la valeur absolue.

Pour ce qui est du sin() ou cos(), combinés, ils séquencent et offrent (s'ils sont en valeur absolue ou s'ils sont élevés au carré) l'alternance recherchée. Ils m'apparaissent un peu comme le moteur du montage.
(je prendrais bien l'apéro, qu'est-ce que vous prenez? c'est ma tournée.)

"Ta pyramide lissée se termine-t-elle en pointe ou pas ?"

Oui, elle se termine en pointe.

"Tu as fait les calculs pour n=100 000 000 ?"

Voici le résultat pour n=100 000 000 : NC=50 000 000, VPL=1,66667E+23, r=5E+15
=> VPL+R=1,66667E+23
Bon ! pas terrible ce tableur.
l'affichage ne suit pas.

A la main? voilà le résultat :-) (j'suis pas très sûr)

VPL= 166 666 666 666 666 666 666 667
R= 5 000 000 033 333 330

Total= 166 666 671 666 666 699 999 997

plus + plus

yoshi · 06-06-2010 19:24:40

Re,

Je commence les calculs :
Pour n =100000000, NC = 166666671666666700000000 très exactement, merci Python...

Aucun délai, ok en employant la formule :
Somme des carrés des nombres pairs de 0 à n pair : [tex]S=\frac{n^3+3n^2+2}{6}[/tex]

Mais, moi je parlais d'opérations répétitives : sommer tous les i² jusqu'à n =100000000...
Sinon, il est clair, avec la formule, sur une poignée d'opérations, il n'y a aucun délai...

Je vais continuer quand j'aurai fait les autres calculs et la programmation.

@ pluche (de P de T)

Ps mais pas pour ce soir : mes lombaires sont trop bavardes...

karlun · 06-06-2010 20:37:25

Re,

1)NC= le nombre de couche...
Non. Je présume que c'est le résultat: = le volume de la pyramide lissée+ les restes de cube1 tronqués.

"Très exactement" et terminant par 8 zéros? c'est louche à mon avis.

Je pense que ce sont nos machines qui ne suivent pas (en tous cas la mienne).

Mais j'y pense: ;-) ce qui me gêne dans l'emploi de la fonction valeur absolue c'est qu'elle a été créée, sans doute, pour fournir plus vite, et sans trop se poser de question et pour de bonnes raisons, le résultat en positif (zéro ou pas), alors que le détour par une fonction circulaire élevée au carré... Bon vous fâchez pas ;-)

J'en déduis donc que "ma" formule battra à plat de couture (en vitesse et pour autant que l'affichage suive) l'ordi qui répète. Que vivent les maths pures!
Merci pour elles.

à plus de +, de -, de /, de *, de sin() et de cos().

yoshi · 06-06-2010 22:13:02

Re,

Réponse "rapide".
Je me paume un peu dans tes sigles, désolé...
Alors, je ne ferai pas d'économie de caractères...

J'ai calculé le nombre de cubes1 composant une pyramide non lissée, comportant 500000000 d'étages, donc pour n =100000000.
D'ailleurs j'avais écrit :

Somme des carrés des nombres pairs de 0 à n pair : [tex]S=\frac{n^3+3n^2+2n}{6}[/tex]

n=10^8
[tex]n^3=10^{24}[/tex]
[tex]3n^2=3\times 10^{16}[/tex]
[tex]2n=2\times10^8[/tex]

[tex]n^3+3n^2+2n=1000000030000000200000000[/tex]

[tex]S=\frac{n^3+3n^2+2n}{6}=166666671666666700000000[/tex]
Exemple pour n=20
4+16+36+64+100+144+196+256+324+400 = 1540
[tex]S=\frac{20^3+3\times 20^2+2\times 20}{6}=1540[/tex]
Ça te va ?

Mais j'y pense: ;-) ce qui me gêne dans l'emploi de la fonction valeur absolue c'est qu'elle a été créée, sans doute, pour fournir plus vite, et sans trop se poser de question et pour de bonnes raisons, le résultat en positif (zéro ou pas), alors que le détour par une fonction circulaire élevée au carré... Bon vous fâchez pas ;-)

1. Tu penses mal,
2. Je ne me fâche pas, je commence à désespérer
3. Qui es-tu pour porter de tels jugements ? Même un Professeur d'Université (avec le niveau qu'il a) ne dirait pas de pareilles choses...
4. Je peux te dire qu'à partir des 1ere scientifiques -françaises- sans les valeurs absolues, beaucoup de choses sont à revoir en Maths, donc en Physique (et disciplines "associées")...
5. Sans trop se poser de questions ? Bon alors voilà un problème simple, à base de valeurs absolues donc où tu ne vas pas avoir besoin de te poser trop de questions, s'pas ?
Etant donnés : la droite xx' munie d'un repère normé (O ; I) et 3 points A d'abscisse 1/2, B d'abscisse 3 et C d'abscisse 5/3, où placer sur la droite le point M d'abscisse x tel que 3MA+MB=3MC (longueurs)
Après ça, on reparlera de l'usage des fonctions circulaires...
6. C'était peut-être un trait d'humour ?
7. Ne te fâche pas... ;-)

J'en déduis donc que "ma" formule battra à plat de couture (en vitesse et pour autant que l'affichage suive) l'ordi qui répète

Il est évident que même mon premier ordinateur, pourtant cadencé à une vitesse de 4,7 Hz, donc 2.000.000.000 de fois moins rapide que celui que j'ai maintenant, le battra à plate couture en utilisant ma formule ci-dessus, pendant que l'autre répétera 50 000 000 de fois une élévation au carré et effectuera 49.999.999 additions entre ces carrés...
Comparons ce qui est comparable...

Si je répète 1000000 fois ta formule (celle avec la parite) puis 1000000 de fois la formule revue et corrigée, avec la même machine, je suis certain que la version revisitée battra à plate couture la 1ere :
- Dans ta formule, tu divises 2 fois par 2 : soit 2000000 de divisions par 2
- Dans la formule que j'ai modifiée : 1 division, soit 1000000 de divisions par 2 en moins
- Tu élèves au carré, soit 1000000 fois une élévation au carré : tu n'as aucune idée du bazar réel qui se passe dans un processeur pour une simple opération comme celle-là... Au point que dans des calculs très répétitifs, il est souvent avantageux de remplacer le calcul de x² par celui de x*x...
- Ma valeur absolue ne demande au processeur que de modifier (éventuellement) un bit...

Maintenant si tu juges ces objections non recevables et que tu maintiens contre vents et marées la supériorité de ta méthode non corrigée, et donc de ta pensée, je te fournirai le détail des temps de calcul des 2 méthodes répétées chacune (séparément) 1000000 fois, lorsque je l'aurai testé...

Suite du post précédent, mais formule encore imparfaite.
n=19
S = 1+9+25+49+81+121+169+225+289+361 = 1330 cubes1
Je pars de n =20 pour la formule
[tex]S=\frac{n^3-n}{6}=\frac{20^3-20}{6}=1330[/tex]

@+
[EDIT]
Corrigé !
[tex]S=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}=\frac{19 \times 20 \times 21}{6}=1330[/tex]
Mieux pour les maths, moins bien pour l'informatique

[EDIT2] Marrant... je viens de percuter !
Que n soit pair ou impair, c'est la même formule :
[tex]S=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}[/tex]

[EDIT3]Dans ton tableur, laisse tomber les fonctions circulaires, utilise plutôt la fonction Mod(a;b), c'est fait pour ça...
MOD(20;2) --> 0
MOD(311;2) --> 1

Dernière modification par yoshi (07-06-2010 06:27:22)

yoshi · 07-06-2010 09:10:03

Re,

Si mes calculs sont bons, la pyramide lissée y compris à sa base n², contiendrait exactement :
166666681666666566666668 cubes1.

Justification des calculs.
Si la pyramide est bâtie à partir de n impair elle se termine par par 1 seul cube, et pour finir par une pointe je dois la coiffer d'une pyramide de volume 1/6 cube1.
Voir http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=3695&p=1 message #8

Si la pyramide est bâtie à partir de n pair, elle se termine par 4 cubes, que l'on doit coiffer d'une pyramide pour finir par une pointe : cette pointe-pyramide aura 4 comme aire de base et 1 de hauteur : volume 4/3 cube1 soit 7/6 supplémentaire par rapport au cas précédent.

Toujours sur la base du post cité ci-dessus, avec une base carrée de côté n, l'étage suivant ayant une base carrée de côté n-2, pour lisser, je devrais rajouter à cet étage 4(n-2) demi cubes + 4 tiers de cubes
Soit pour lisser un niveau :
[tex]2(n-2)+{4 \over 3}=\frac{6n-12+4}{3}=\frac{6n-8}{3}[/tex] valeur indépendante de la parité de n.
Je ne dois pas oublier non plus de lisser la base de n² cubes...
Donc combien de fois renouveler l'opération lissage ?
Autant de fois que d'étages, soit (n+parite)/2 de fois...
C'est à dire :
[tex]\frac{6n-8}{3}\times \frac{n+parite}{2}=\frac{(6n-8)(n+parite)}{6}[/tex]
A quoi je dois ajouter, pour finir le lissage, la pointe [tex]\frac{1+7(1-parite)}{6}[/tex] cubes1

Ce qui me donne
Volume Pyramide lissée : [tex]S=\frac{n(n+1)(n+2)+(6n-8)(n+parite)+1+7(1-parite)}{6}[/tex]
Parite = 0 si n est pair, 1 si n impair

Voilà, je reverrai ça à tête reposée, n'étant pas infaillible, il peut y avoir une erreur quelque part. Cela étant, si je publie c'est que j'ai une certitude à plus de 90%...

@+

[EDIT]
Hélas, ça :

Donc combien de fois renouveler l'opération lissage ?
Autant de fois que d'étages, soit (n+parite)/2 de fois...

c'est faux, il faut que je somme...
A refaire : je reprends !

Dernière modification par yoshi (07-06-2010 13:02:28)

yoshi · 07-06-2010 15:20:58

Bon,

Reprenons...
J'appelle k le nombre d'étages, on a k=(n+parite)/2
J'ai donc un nombre de cubes de coins égal à 4k/3...

Reste le cas des demi-cubes le long du périmètre de chaque carré.

Cas où n est impair.
En partant du dernier étage (cube unique), je dois ajouter :
avec k =(n+1)/2
[tex]\underbrace{2+6+10+14+...}_{ k\;nombres}=2(\underbrace{1+3+5+7...}_{ k\;nombres})=2k^2=\frac{(n+1)^2}{2}[/tex]

Cas où n est pair.
En partant du haut (carré de 2 x 2 cubes) :
avec k=n/2
[tex]\underbrace{4+8+12+16+...}_{ k\;nombres}=4(\underbrace{1+2+3+4...}_{ k\;nombres})=2k(k+1)=\frac{n(n+2)}{2}[/tex]

Comment fondre les deux formules en une ?
Je pars sur
(n+parite)² = (n+ parite)(n+parite)=(n+1)(n+1)
que je compare à :
n(n+1)
J'écris alors :
(n+parite)(n+2-parite)
n impair, parite = 1, je retrouve (n+1)²
n pair, parite = 0, je retrouve n(n+2)

Je pense donc pouvoir écrire :
Volume Pyramide lissée : [tex]S=\frac{n(n+1)(n+2)+3(n+parite)(n+2-parite)+4(n+parite)+1+7(1-parite)}{6}[/tex]
Parite = 0 si n est pair, 1 si n impair
(1) [tex]\frac{n(n+1)(n+2)}{6}[/tex] Pyramide à étages (non lissée)

(2) [tex]\frac{(n+parite)(n+2-parite)}{2}=\frac{3(n+parite)(n+2-parite)}{6}[/tex] nombre de cubes à rajouter (par moitiés) le long des "périmètres"

(3) [tex]\frac 4 3 \times \frac{n+parite}{2}=\frac{4(n+parite)}{6}[/tex] Nombre de cubes à rajouter (par tiers) dans les coins

(4) [tex]\frac{1+7(1-parite)}{6}[/tex] pointe finale

Ma formule équivaut donc à (1)+(2)+(3)+(4), en mettant un seul dénominateur.

Résultat pour n=100.000.000
S=166 666 676 666 666 866 666 668

Pour l'instant...
Si ma formule est juste, le calcul est exact : Python me permet de jongler avec des nombres entiers très, très, très longs...
Pour les décimaux ce serait nettement moins facile...

@+

[EDIT]
Bingo ! Ma formule est juste, parce que si je calcule directement le volume en cubes1 de la pyramide lissée :
[tex]\frac{(10^8+2)^2\times (5\times 10^7+1)}{3}[/tex] = 166 666 676 666 666 866 666 668
je tombe sur le même résultat...

Pourquoi n'ai-je pas testé ça avant ???

Dernière modification par yoshi (08-06-2010 16:59:21)

karlun · 09-06-2010 11:41:11

Bonjour
et grands remerciements à Maître Yoshi pour le beau travail sur le sujet.

Nos chemins aboutissent (et c’est logique) au même résultat.

Je note que Yoshi est parti de la somme des carrés (des couches) d’où l’emploi de la formule : [tex]S=\frac{{n}^{3}+3{n}^{2}+2n}{6}[/tex]

1) Et conclure donc que : la somme des carrés des n entiers naturels = la somme de la somme des n1° entiers.

2) Cette formule (si je me souviens bien) est basée sur une « bonne équation de départ » : [tex]\left(a+b{)}^{3}={a}^{3}+3{a}^{2}b+3a{b}^{2}+{b}^{3}[/tex] .
Sans doute y a-t-il d’autres chemins pour y arriver (notamment celui proposé par Golgup http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 587#p21587
En connaissez vous d’autres encore ?

3) Le lissage s'obtient en rajoutant les bouts de cube1 tronqués. (Le résultat ne sera entier (sans décimale) qu’une fois sur trois (n=multiple de 3)).

Je note que je suis parti de la pyramide lissée (d’où l’emploi de la formule [tex]\frac{Bas{e}^{2}\times \,Hauteur}{3}[/tex] la hauteur variant selon la parité de n.

1) pour arriver (après dé-lissage) à montrer que : [tex]\sum^{n}_{k=1}\sum^{k}_{i=1}i\,=\,\sum^{n}_{i=1}{i}^{2}[/tex] (c’est la pyramide à niveaux)
2) Cette procédure est aussi une manière de démontrer la somme des carrés des n entiers naturels.
3) Le lissage je l’obtiens en retranchant les bouts de cube1 tronqués.

Merci encore.

Plus de plus

yoshi · 09-06-2010 12:29:02

Re,

Le lissage s'obtient en rajoutant les bouts de cube1 tronqués. (Le résultat ne sera entier (sans décimale) qu’une fois sur trois (n=multiple de 3)

C'est ce que je croyais aussi et je me suis acharné à comprendre pourquoi avec n = 10^8, non multiple de trois, on obtenait une pyramide lissée de 166 666 676 666 666 866 666 668 résultat entier exact...
Je crois que j'ai trouvé, au moins en partie.

(1) et (2) étant entiers, reste le cas de (3) et (4).
Si la somme de 2 multiples de 3 est toujours un multiple de 3, rien ne dit que la somme de 2 non-multiples de 3 ne soit pas elle-même un multiple de 3, la preuve : 7+5 !
Alors quand ?

Soit h et k deux entiers naturels, supérieurs ou égaux à 2, quelconques :
pour obtenir deux non multiples de 3 il faut construire [tex]3h\pm 1,\;3h\pm 2,\;3k \pm 1\;3k \pm 2[/tex]
Les " bonnes" combinaisons sont :
[tex]3h+1 + 3k+2[/tex] et [tex]3h+2 + 3k+1[/tex]

Bin, les - sont passés à la trappe ?
Bin vi, parce que si un nombre non multiple de 3 s'écrit
* 3h-1, si je fais le changement de variable h=h'+1, je trouve 3h-1 = 3h'+3-1 = 3h'+2
* 3h-2, si je fais le changement de variable h=h'+1, je trouve 3h-2 = 3h'+3-2 = 3h'+1

Or, la pointe, dans le cas de n pair, vaut 4/3 avec 4 = 3 + 1, multiple de 3 + 1.
Il faut donc que mon nombre total de cubes de coin de cubes de coin, ici avec n pair, 2n/3, ait un numérateur 2n qui soit un multiples 3 +2.

Est ce le cas ? Oui, [tex]2 \times 10^8 \equiv 2 \pmod 3[/tex].
Preuve :
10^8 = 100000000=999999999+1,
donc 2 x 10^8 =2(999999999+1)=2 x 999999999 + 2 = 2 x 3 x 333333333 + 2 = 3(2 x 333333333) + 2

Cette formule (si je me souviens bien) est basée sur une « bonne équation de départ » : [tex]\left(a+b{)}^{3}={a}^{3}+3{a}^{2}b+3a{b}^{2}+{b}^{3}[/tex]

Oui, l'idée de départ est d'utiliser l'identité remarquable (a+b)^3 et plus précisément son adaptation :
[tex](n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1[/tex] pour trouver la somme 1+2²+3²+....+n².
Tu en as d'ailleurs la démonstration dans le document .pdf de 6 pages que tu m'avais demandé et que je t'avais expédié par mél, l'as-tu reçu ?

karlun a écrit :

Sans doute y a-t-il d’autres chemins pour y arriver (notamment celui proposé par Golgup http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 587#p21587

Est-ce à ça que tu fais allusion :

Golgup a écrit :

Hello
Si tu ne t'intéresses qu'aux façon de trouver la formule( tu connais la formule?):
la façon classique:
1) Mettre en facteur le 1/2.
2) Décomposer la somme en deux sommes: celle des n premiers carrés plus celle des n premiers entiers.
3) Simplifier la fraction.
4) Réduire le numérateur à une équation du 2nd degré.
5) Extraire ses racines (-1 et -2) puis factoriser.
et donc la formule est [tex]\frac{\left(n+2\right)\left(n+1\right)n}{6}[/tex]
++

Si oui, alors je récuse le fait que cette méthode soit différente... En effet :
[tex]\sum_{i=1}^n\frac{i(i+1)}{2}=\frac 1 2 \sum_{i=1}^n i(i+1) = \frac 1 2 \sum_{i=1}^n( i^2+i)=\frac1 2 \left(\sum_{i=1}^n i^2+ \sum_{i=1}^n i\right)[/tex]
et il est nécessaire de prendre la moitié de la somme des carrés des n premiers entiers et de la somme des n premiers entiers, ce qui n'est autre que la démonstration employée dans mon document .pdf cité à propos de "mon" empilement de cubes adapté d'un exercice de 6e...

Bon, on a assez ri, alors je m'arrête là...

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 26-05-2010 21:05:36

Une pyramide "imagémathise" la somme de la somme des n 1ers entiers.

#2 27-05-2010 15:03:06

Re : Une pyramide "imagémathise" la somme de la somme des n 1ers entiers.

#3 27-05-2010 19:40:47

Re : Une pyramide "imagémathise" la somme de la somme des n 1ers entiers.

#4 05-06-2010 17:39:19

Re : Une pyramide "imagémathise" la somme de la somme des n 1ers entiers.

#5 05-06-2010 18:16:02

Re : Une pyramide "imagémathise" la somme de la somme des n 1ers entiers.

#6 05-06-2010 18:55:59

Re : Une pyramide "imagémathise" la somme de la somme des n 1ers entiers.

#7 05-06-2010 19:45:35

Re : Une pyramide "imagémathise" la somme de la somme des n 1ers entiers.

#8 05-06-2010 20:33:20

Re : Une pyramide "imagémathise" la somme de la somme des n 1ers entiers.

#9 05-06-2010 21:47:12

Re : Une pyramide "imagémathise" la somme de la somme des n 1ers entiers.

#10 05-06-2010 22:30:16

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#11 06-06-2010 07:20:20

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#12 06-06-2010 08:44:16

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#13 06-06-2010 10:25:26

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#14 06-06-2010 11:48:01

Re : Une pyramide "imagémathise" la somme de la somme des n 1ers entiers.

#15 06-06-2010 19:24:40

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#16 06-06-2010 20:37:25

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#17 06-06-2010 22:13:02

Re : Une pyramide "imagémathise" la somme de la somme des n 1ers entiers.

#18 07-06-2010 09:10:03

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#19 07-06-2010 15:20:58

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#20 09-06-2010 11:41:11

Re : Une pyramide "imagémathise" la somme de la somme des n 1ers entiers.

#21 09-06-2010 12:29:02

Re : Une pyramide "imagémathise" la somme de la somme des n 1ers entiers.

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