Forum de mathématiques - Bibm@th.net

franklino

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le lieu des points M

Quel est le lieu des points M de l’espace tels que
    MA² + MB² + MA × MB = AB², où A et B sont deux points de l’espace ? ˝

nerosson

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Re : le lieu des points M

Salut, Franklino,
Ton problème est trop fort pour un vieux schnock qui a oublié son peu de mathématiques.
Je note toutefois que, à moins de me tromper lourdement, les points A et B font partie du lieu géométrique en question.
Je note aussi que si on simplifie l' équation comme ceci : MA2 + MB2 = AB2, le lieu est la sphère de diamètre AB (je ne développe pas le raisonnement : s'il est bon, il me parait à la portée de tous tes lecteurs).
Mais tu ajoute au premier terme + MA X MB.
Alors là, je dérive dans les limbes du pifomètre intégral, et je subodore que ma sphère se contracte le long de l'axe AB, et je suppose qu'on doit obtenir un ellipsoïde de révolution dont le grand axe serait AB.
Tout ça est très fragile et Freddy va encore me foutre des heures de colle.
Si, par chance, c'est bon, je suis incapable de donner les caractéristiques de ce lieu, ce qui laisse du pain sur la planche à ceux qui viendront derrière.
J'ai conscience d'avoir pris beaucoup de risques.

thadrien

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Re : le lieu des points M

Salut,

C'est amusant, ça me rappelle étrangement ce sujet : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=3594.

Pour trouver la forme de ta courbe, deux méthodes :

1) La méthode "force brute" :
Poser M(x,y,z) A(xa,ya,za) et B(xb,yb,zb).
Développer ton expression en fonction des coordonnées de M, A et B.
Appliquer une réduction de Gauss des formes quadratiques pour obtenir une équation de sphère de diamètre AB.

2) La méthode astucieuse :
[tex]MA^2 + MB^2 + \vec{MA} \cdot \vec{MB} = AB^2[/tex]
<=> [tex]MA^2 + MB^2 + \vec{MA} \cdot \vec{MB} = (\vec{AM} + \vec{MB})^2[/tex]
<=> [tex]MA^2 + MB^2 + \vec{MA} \cdot \vec{MB} = (-\vec{MA} + \vec{MB})^2[/tex]
<=> [tex]MA^2 + MB^2 + \vec{MA} \cdot \vec{MB} = MA^2 - 2 \vec{MA} \cdot \vec{MB} + MB^2[/tex]
<=> [tex]\vec{MA} \cdot \vec{MB} + 3 \vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0[/tex]
<=> [tex]4 \vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0[/tex]
<=> [tex]\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0[/tex]
Tu obtiens également une sphère de diamètre AB. Comme l'a dit nérosson, remarquer que ton ensemble est une quadrique passant par A et B peut t'aider.

Dernière modification par thadrien (16-04-2010 15:47:53)