Ensemble (E) des point M [Résolu]

math94 · 15-04-2010 16:55:36

Bonjour, petit soucis de compréhension concernant un exercice de mathématique, je me suis pris le tête dessus :

"Dans un plan un d'un repère orthonormal (O ; ; ), on se donne les ponts A(-3;-1) et B(5;3).
Déterminer l'ensemble (E) des ponts M du plan de coordonnée (x;y) tels que les vecteurs 2(vecteur)MA + (vecteur)MB et (vecteur)MA + 2(vecteur)MB soient orthogonaux."

[2(vecteur)MA + (vecteur)MB] . [(vecteur)MA + 2(vecteur)MB]

Je sais que les vecteur MA et MB sont orthogonaux se traduit par : [2(vecteur)MA + (vecteur)MB] . [(vecteur)MA + 2(vecteur)MB] = 0

mais je bloque maintenant, je ne trouve pas de solution...

Merci pour votre aide.

freddy · 15-04-2010 17:27:43

Salut,

commence par exprimer analytiquement la condition imposée aux coordonnées du point M et, après simplification élémentaire, tu trouveras une équation qui ressemblera furieusement à celle d'une figure circuaire connue ...

Tiens, je te donne le centre O de coordonnées (1, 1) ... et, sauf erreur de calcul, le rayon = [tex]\frac{2 \sqrt{5}}{3}[/tex]

Allez, un peu de courage !

Dernière modification par freddy (15-04-2010 17:30:23)

math94 · 15-04-2010 17:32:28

(2MA + MB). (MA + 2MB) = 0
<=> x'x" + y'y" = 0
avec (2MA + MB) (x'; y')
et (MA + 2MB) (x"; y")

2MA.MA + MB.2MB

voici ce que sa donne, ça fait loin les barycentre :) .

thadrien · 15-04-2010 18:33:49

Salut,

Il faut que tu développes plus ton expression, jusqu'à ce que tu aboutisses à une expression sur les coordonnées de M.

math94 · 15-04-2010 18:44:06

Je bloque, j'ai compris l'idée, j'ai enfin trouver sous quel forme sera mon resultat, mais n'arrive pas à y parvenir.

xMA + yMB

freddy · 15-04-2010 19:25:31

Re,

non, du tout. Le vecteur MA a pour coordonnées dans la base indiquée (x+3, y+1) ... Allez, écris correctement les coordonnées des deux vecteurs orthogonaux, le reste viendra tout seul.

Dernière modification par freddy (15-04-2010 19:25:56)

yoshi · 15-04-2010 19:35:14

Bonsoir,

Quels barycentres ? Pour l'instant, aucun barycentre en vue.

Reprenons.
1. Avec M(x ;y), A(-3 ; -1), B(5 ;3), tu as :
[tex]\overrightarrow{MA}(x+3\;;\; y+1)\text{ et }\overrightarrow{MB}(x-5\;;\;y-3)[/tex], je ne t'apprends rien...

2. Maintenant tu as besoin des coordonnées de [tex]2\overrightarrow{MA}\text{ et }2\overrightarrow{MB}[/tex]
Pour cela (dur, dur !) tu vas multiplier chaque coordonnée de chaque vecteur par 2.
Ce qui nous fait : ....................................... ?

3. Maintenant, tu vas calculer les coordonnées X et Y du vecteur [tex]2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}[/tex].
Il te suffit pour cela d'additionner les coordonnées de même nature trouvées au 1 et au 2.
Ce qui nous donne : .................................?
Tu cherches de même les coordonnées X' et Y' du vecteur [tex]\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}[/tex].
Et tu obtiens : .................................. ?

4. Maintenant avec ces coordonnées (X ; Y) et (X' ; Y') tu calcules XX' + YY' et tu écrix XX'+YY' = 0.
Tu développes et tu réduis chacun des produits de 2 sommes... .
Tu obtiens : ....................................... ?

5. Après tu fais apparaître la forme bien connue (x -a)² +(y-b)² = R²...

Réponds aux questions, qu'on sache ce qui coince, s'il te plaît.

@+

PS
Salut freddy, on s'est encore croisés...
Centre : appelle le E par exemple le O est pris. Sinon ok pour tes coordonnées.
ok pour le rayon.

math94 · 15-04-2010 19:59:20

2.
Pour MA :
2(x+3) ; 2(y+1) <==> (2x+3) ; (2y+2)
Pour MB :
2(x-5) ; 2(y-3) <==> (2x-10) ;(2y-6)

3. si je suis ce que tu m'a indiqué : (2x+3) + (2x-10) =4x-7
(2y+2) + (2y-6) =4y -4

Je préfère attendre ta vérification pour continuer, je ne suis pas sûr du dernier calcul... merci de votre aide.

nabil10 · 15-04-2010 20:11:27

Bonjour!
écoute Math94 , ton exercice est facile, je vais te donner une idée qui te permettra de résoudre toi même
c'est parti, tu choisie le point I milieu de AB, tu calcule les coordonnées de I dans la base choisie,
En suite tu fais apparaitre le point I dans [2vecteur(MA)+ vecteur(MB)].[vecteur(MA)+ 2vecteur(MB)]=0 en gardant vecteur(MI);
A la fin tu dois avoir 9(MI)^2= AI^2 c'est qui donne la réponse de Freddy:cercle de centre I de coordonnées (1, 1) ... et, sauf erreur de calcul, le rayon = (2√5)/3
désole pour l'écriture car le code latex est un peu difficile a utiliser

merci pour votre attention!!!

Dernière modification par nabil10 (15-04-2010 20:12:38)

yoshi · 15-04-2010 20:12:53

Salut,

Attention sois clair et précis :
si tu écris MA 2(x+3) ; 2(x+1) tu risque de te tromper : écris 2MA
D'ailleurs je relève une faute (de frappe ?) 2(x+3)= 2x+6 et non 2x+3.

Donc on a
[tex]\overrightarrow{MA}(x+3\;;\; y+1)\text{ et }\overrightarrow{MB}(x-5\;;\;y-3)[/tex]
et [tex]2\overrightarrow{MA}(2x+6\;;\; 2y+2)\text{ et }2\overrightarrow{MB}(2x-10\;;\;2y-6)[/tex]

Maintenant tu dois chercher les coordonnées de
[tex]2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\text{ puis de }\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}[/tex]

A refaire !
Toi tu as additionné [tex]2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}[/tex], ce qui n'a rien à voir avec ce qui est demandé...
Donc j'attends les 2 couples de coordonnées (X ; Y) et (X' ; Y')......................................... ?

@+

@nabil10 : c'est bien...
Cela dit, il ne faut pas arriver "comme un cheveu sur la soupe" et proposer une méthode différente de ce qu'a proposé freddy : ce jeune-homme (math94, pas freddy, hein ?) a assez de soucis comme ça, sans que tu en rajoutes avec une autre méthode.
D'autre part, je suis en total désaccord avec ton jugement :
1. Je suis certain à 99 % que ce n'est pas la méthode attendue, et que celle que nous proposons étant "bêtement" calculatoire, elle est tout aussi simple
2. Je suis tout aussi certain que ta méthode est loin d'être plus simple pour math94...
3. Tu ne pouvais pas savoir que [AB] serait un diamètre : je peux te "pondre" (enfin, j'espère...) un problème dans lequel [AB] ne sera qu'une corde banale...

Enfin, "facile" ou "difficile", ça n'existe pas, bannis-les de ton vocabulaire et remplace-les par "je sais faire" ou "je ne sais pas faire". A la limite on peut dire qu'un exercice est simple ou "complexe".
La méthode proposée requiert des savoirs-faire (sauf à partir de XX' + YY' =0) envisageables en 3e...
Le déroulement pas à pas de la démonstration est parfaitement linéaire et chaque pas requiert une connaissance simple (dans le sens anglais de single)

J'en ai terminé avec mon cours de philo... ;-)

Pour Latex, ton code LaTex était :

(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}).(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB})=0

Que tu encadrais entre 2 balises tex et /tex (entre crochets) :
[tex](2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}).(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB})=0[/tex]

Ou encore :
rayon = \frac{2\sqrt 5}{3} soit avec les balises : [tex]\frac{2\sqrt 5}{3}[/tex]

C'est bon ?

math94 · 15-04-2010 20:36:20

2MA+MB =(3x+1) ; (3y-1)
MA+2MB = (2x-2) ; (2y-2)

Donc le couple de coordonnée : XX'+YY' = 0
(3x+1)(2x-2) + (3y-1)(2y-2) = 0
6x²-6x+2x-2 + 6y²-6y-2y+2 = 0

6x²+6y²-8x-8y = 0

Ta formule est-elle la même que : (x-x0)² + (y-y0)² = R² (les 0 sont en indice)

nabil10 · 15-04-2010 20:48:27

tu as mal développer !!!! math94

Dernière modification par nabil10 (15-04-2010 20:49:51)

yoshi · 15-04-2010 20:48:35

Re,

Non ! Cré bon sang... c'est qu'il est têtu !
Donc tu pars de :
[tex]\overrightarrow{MA}(x+3\;;\; y+1)\text{ et }2\overrightarrow{MB}(2x-10\;;\;2y-6)[/tex]
et refais tes calculs pour :
[tex]\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}[/tex]
Et donne-nous (X',Y')...

Ensuite écris l'égalité :
XX' + YY' = 0 (montre ce que tu écris)
Développe XX', puis YY', montre nous alors ce qu'est devenu l'égalité XX' + YY' = 0.
Réduis.
Divise les deux membres par le coefficient de x² (qui est le même que celui de y²).
Montre-nous ça.....................
On verra la suite après.

@+

PS

Il a donc fait mieux que mal développer (son développement est juste), ça coince dans les coordonnées des sommes vectorielles...

math94 · 15-04-2010 20:59:32

2MA+MB =(3x+1) ; (3y-1)
(2x-2) (2y-2) ces deux là j'avais bon donc.

donc pour le développement : xx' + yy' = (3x+1)(2x-2) + (3y-1)(2y-2)
=6x²-6x+2x-2 + 6y²-6y-2y+2 = 0

je voit vraiment pas mon erreur...

yoshi · 15-04-2010 21:11:13

Re,

Alors je vais crier puisque tu ne m'entends pas !

LE CALCUL QUE TU ME PRESENTES (c'est à dire celui de [tex]\overrightarrow2{MA}+\overrightarrow{MB}[/tex]) EST JUSTE, C'EST L'AUTRE QUI EST FAUX !!!

Refais le calcul de [tex]\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}[/tex]

@+

nabil10 · 15-04-2010 21:13:11

vas y doucement math94, exprime d'abord MA et MB a part et en suite fait la multiplication après avec A(-3,-1), B(5,3) et M(x,y) comme coordonnées! fait le et donne nous ta réponse

yoshi · 15-04-2010 21:22:25

Re,

Pour être sûr que tu ne sois pas noyé sous les posts, j'en rajoute un (!)
Je reprends ce que je t'ai dit :

[tex](\overrightarrow2{MA}+\overrightarrow{MB})\,(3x+1\;;\;3y-1)[/tex] c'est juste.

Refais les calculs de [tex]\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}[/tex] avec ce que j'ai écrit dans les premières premières lignes du post #13 :

[tex]\overrightarrow{MA}(x+3\;;\; y+1)\text{ et }2\overrightarrow{MB}(2x-10\;;\;2y-6)[/tex]

@+

Dernière modification par yoshi (15-04-2010 21:37:08)

math94 · 16-04-2010 06:12:13

Après avoir réfléchit j'ai enfin compris, et c'étais devant mes yeux : c'est la méthode que tu m'a indiqué.

Je sais que : (2MA + MB). (MA + 2MB) = 0 Or on ait que (2MA + MB). (MA + 2MB) = xx' + yy'
Donc si je calcul xx' + yy', je pourrais en déduire les coordonnée de M, car je trouverais une forme (x1+x)²+(y1+y2)²=R².

yoshi · 16-04-2010 07:25:32

Re,

Vérifications faites, les équations de cercle (et de sphère) sont bien du programme de 1S.

1. Coordonnées de [tex]2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\text{ : }(X\;;\;Y)=(3x+1\;;\;3y-1)[/tex]
Ça c'est acquis. On n'y revient pas.

2. Coordonnées (X' ; Y') de [tex]\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}[/tex]
Aide-toi du post #13, il y était dit que :
[tex]\overrightarrow{MA}(x+3\;;\; y+1)\text{ et }2\overrightarrow{MB}(2x-10\;;\;2y-6)[/tex]
Ton résultat : (X' ; Y') =(.......... ; ...........) ?

3. Écris maintenant que XX' + YY' = 0
Développe XX' et YY', réduis.
Tu tombes sur une équation du type : ax² - 2bx + ay ²- 2cy - d = 0
(a, b, c et d, sont des nombres entiers naturels)
Que trouves-tu ? ..................................................... ?

4. Divise les 2 membres par a, enfin par le nombre qui est à la place de a dans ton équation. ;-)
Que trouves-tu ?

Réponds déjà de façon précise à ces questions précises, s'il te plaît... Merci d'avance

@+

PS
Et arrête d'utiliser xx'+yy' à la place, ici, de XX' + YY', tu vas finir par tout mélanger...

math94 · 16-04-2010 21:43:18

A l'avenir j'utiliserai les bon caractères... en ce qui concerne cet exercice j'ai compris, grâce à ta méthode, merci.
si je me trompe pas, le point M se déplace sur un cercle de centre O(3;3) de rayon (Racine de 20) (à mettre en rad).

Merci encore à tous !

yoshi · 16-04-2010 22:09:27

Re,

Non, hélas...

1. Coordonnées (X' ; Y') de [tex]\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}[/tex] : [tex](X'\;;\;Y')=(3x-7\;;\;3y-5)[/tex]

2. Ce qui nous donne l'équation suivante :
[tex](3x+1)(3x-7)+(3y-1)(3y-5)=0[/tex]
Soit : [tex]9x^2-18x+9y^2-18y-2=0[/tex]

3. Division des 2 membres par 9 :
[tex]x^2-2x+y^2-2y-{2 \over 9}=0[/tex]

4. Mise en évidence du centre
Technique vue 2nde : on sait que a²-2ab+b² = (a-b)², et on en déduit a² - 2ab = (a-b)² - b²
Donc x²-2x = (x-1)² - 1² et y² - 2y = (y -1)² -1²
Que l'on remplace dans l'équation :
[tex](x - 1)^2 - 1+(y - 1)^2-1-{2 \over 9}=0[/tex] Et enfin :
[tex](x-1)^2+(y-1)^2 = {20 \over 9}[/tex]
Centre (1 ; 1) Rayon : [tex]\sqrt {20 \over 9} = {2\sqrt 5 \over 3}[/tex]
Cercle de centre E (par exemple), milieu de [AB]...

Ces valeurs ont été données dès le début par freddy, j'ai confirmé ensuite et enfin nabil10 a donné aussi ces mêmes valeurs dans son premier post...
Il faut apprendre à "relever le nez du guidon" autrement dit, prendre un peu de hauteur en relisant de temps en temps l'ensemble de la discussion.
Sinon, à quoi ont servi tous ces posts ?

Commentaire(s) ?

@+

PS
Tu veux mettre un rayon en radians ??? un rayon est une longueur et le radian, une mesure d'angle...

math94 · 17-04-2010 17:03:14

Je me suis tromper sur les coordonnée du centre, mais en ce qui concerne le rayon j'ai réussit, j'ai j'ai bien trouver 2(racine5)/3 pour le rayon.

Merci encore de ton aide.

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