Curiosités pédagogiques ?!?

freddy · 29-03-2010 13:52:39

Bonjour,

je soumets à la sagacité du lecteur aspirant enseignant dans le secondaire ou le supérieur, les sujets suivants, extrait d'un recueil de problèmes de niveau L1 en mathématique et informatique appliquée.

L'intitulé de ce post n'a pas vocation à remettre en cause les auteurs de ce recueil, car je ne peux certifier sa source. On trouvera là le post d'origine.

Je transcris ci-après le document qui m'a été adressé.

L'intérêt est de montrer comment un énoncé faux ou confus, avec un objectif pédagogique clair associé à des applications sans lien immédiat ou réel, peut faire sombrer des étudiants en phase d'apprentissage dans des abîmes de perplexités.

RECUEIL DE PROBLEMES
Nous nous intéressons à plusieurs conséquences et généralisations de la formule trigonométrique suivante :
[tex] \forall n \in \N,\;\cos (n+1)x+\cos (n-1)x=2 \cos x \cos nx[/tex] (Eq)
PARTIE 1
1) Prouver Eq.
2) En utilisant la formule [tex] \cos\theta=\frac12 \left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)[/tex] déduire de 1) que :
[tex] \forall n \in \N^*,\;\forall z \in \C[/tex] tel que [tex]\left|z\right|=1,\;z^n+z^{-n}=P_n(z+z^{-1})[/tex]
où [tex]P_n[/tex] est un polynôme de degré n à coefficients dans Z. Déterminer [tex]P_1,\; P_2\; et\; P_3[/tex].
3) Montrer que le résultat ci-dessus reste vrai pour tout nombre complexe non nul.
4) On admet que [tex]\sqrt3[/tex] est irrationnel. Déduire de 3) que pour tout nombre entier n non nul, le nombre
[tex] \sqrt[n]{\sqrt3+\sqrt2}+\sqrt[n]{\sqrt3-\sqrt2}[/tex] est aussi irrationnel.

PARTIE 2
5) Soient m et n deux nombres entiers différents de 0. Montrer que :
[tex]\left(\sqrt{m+1}+\sqrt{m}\right)^n+\left(\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\right)^n \in \N [/tex]
Remarque : cette proposition est fausse si n est impair
Est il vrai que [tex]\sqrt{m+1}-\sqrt{m} < 1[/tex] ?
6) On note [tex] \{x\}=x - [x][/tex] la partie fractionnaire d'un réel quelconque, différence entre lui même et sa partie entière.
(Par exemple, [tex] \{\sqrt{\frac52}\}=\frac12[/tex] (sic*)
(*cet exemple est manifestement faux)
En utilisant le résultat de 5), calculer [tex]\lim_{n \to \infty} \{\left(\sqrt{m+1}+\sqrt{m}\right)^n\}[/tex] avec m nombre entier non nul.
comme le 5) est erroné, que faire ...
7) Montrer que si [tex]\theta[/tex] est tel que [tex]\cos\theta+\sin\theta \in \Q[/tex], alors [tex]\cos^n\theta+\sin^n\theta\in \Q[/tex].

PARTIE 3
Les problèmes suivants ne sont pas directement liés aux parties 1 et 2.
8) Montrer que pour chaque entier n impair
[tex] x^n - x^{-n} =Q(x-x^{-1})[/tex] où Q est un polynôme.
9 ) Soit [tex] (a_n),\; n \geq 1[/tex] une suite strictement positive.
Montrer que s'il existe une suite [tex](b_n)[/tex], strictement positive, et une constante C > 0 vérifiant :
[tex] \frac{a_nb_n}{a_{n+1}}-b_{n+1} \geq C,\;\forall n \in \N^*[/tex], alors [tex] \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n < +\infty[/tex].
Le résultat est établi dans la conversation du post d'origine
10)Soit [tex] (a_n),\; n \geq 1[/tex] une suite strictement positive.
Montrer que s'il existe une suite [tex](c_n)[/tex] strictement positive telle que [tex]\sum_{n=1}^{+\infty} c_n^{-1} =+\infty[/tex], vérifiant :
[tex] \frac{c_na_n}{a_{n+1}} - c_{n+1} \leq 0,\; \forall n \in \N^* [/tex], alors [tex]\sum_{n=1}^{+\infty} a_n=+\infty[/tex].

Bon courage.

Moralité : il est majeur de vérifier soigneusement tous les exos et problèmes proposés à ses élèves.

Dernière modification par freddy (10-04-2010 22:06:43)

Luna · 20-04-2010 14:53:09

Bonjour,Je voulais vous demander comment démontrer qu'une propriété est fausse.
Et comment démontrer qu'elle est vraie.Merci pour vos réponse :p

thadrien · 20-04-2010 15:11:05

Un tel sujet mérite le bûcher... avec celui qui l'a composé !

freddy · 20-04-2010 15:29:37

Oui, et j'ai bien peur de connaître son auteur ...

thadrien · 20-04-2010 21:37:36

Alors offre-lui de ma part du bois pour le bucher ! :-)

freddy · 21-04-2010 10:34:02

Il brûle déjà dans l'enfer de l'incompréhension !

freddy · 24-04-2010 07:03:49

Valentin apporta le 20 avril dernier les modifications ci-après.

RECUEIL DE PROBLEMES
PARTIE 2
5) Soient m et n deux nombres entiers différents de 0. Montrer que :
[tex]\left(\sqrt{m+1}+\sqrt{m}\right)^{2n}+\left(\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\right)^{2n} \in \N[/tex]
Est il vrai que [tex]\sqrt{m+1}-\sqrt{m} < 1[/tex] ?
6) On note [tex]\{x\}=x -[x][/tex] la partie fractionnaire d'un réel quelconque, différence entre lui même et sa partie entière.
Par exemple, [tex]\left\{\frac52\right\}=\frac12[/tex].
En utilisant le résultat de 5), calculer [tex]\lim_{n \to \infty} \left\{\left(\sqrt{m+1}+\sqrt{m}\right)^{2n}\right\}[/tex] avec m nombre entier non nul.

freddy · 25-04-2010 20:02:35

Hello,

fort de la précision du texte, on déduit alors que :

[tex]\lim _{n\to+\infty }\left\{{\left(\sqrt{m+1}+\sqrt{m}\right)}^{2n}\right\}=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\left(\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\right)}^{2n}=0[/tex] puisque [tex]\forall m \in \N^*,\,\sqrt{m+1}-\sqrt{m} < 1[/tex] car [tex]\left(\sqrt{m+1}+\sqrt m\right)^{-1} < 1[/tex].

Dernière modification par freddy (26-04-2010 11:55:25)

freddy · 26-04-2010 07:26:19

Hello tutti,

je reprends la question n° 10 :

10)Soit [tex](a_n),\; n \geq 1[/tex] une suite strictement positive.
Montrer que s'il existe une suite [tex](c_n)[/tex] strictement positive telle que [tex]\sum_{n=1}^{+\infty} c_n^{-1} =+\infty[/tex], vérifiant :
[tex]\frac{c_na_n}{a_{n+1}} - c_{n+1} \leq 0,\; \forall n \in \N^*[/tex], alors [tex]\sum_{n=1}^{+\infty} a_n=+\infty[/tex].

Posons [tex]{v}_{n}={c}_{n}{a}_{n}[/tex] . Cette suite est strictement positive croissante, puisque par hypothèse et construction :

[tex]{v}_{n}-{v}_{n+1}\leq 0 \Longleftrightarrow {v}_{n+1}\geq {v}_{n}>0[/tex]

On en déduit qu'il existe une constante [tex]k>0[/tex] tq [tex]\forall n\geq 1,{v}_{n}>k[/tex], et donc

[tex]\forall n \geq 1,\,{a}_{n}>k{c}^{-1}_{n}\;\Rightarrow \sum^{+\infty }_{n=1}{a}_{n}>\sum^{+\infty }_{n=1}k{c}^{-1}_{n}\; \Rightarrow \sum^{+\infty }_{n=1}{a}_{n}=+\infty[/tex].

En particulier, rien ne nous interdit de choisir [tex]k=v_1[/tex] et d'élargir les inégalités strictes ci-dessus.

Bb

Dernière modification par freddy (26-04-2010 14:26:23)

Valentin · 27-04-2010 11:51:18

freddy a écrit :

Hello,
fort de la précision du texte, on déduit alors que :
[tex]\lim _{n\to+\infty }\left\{{\left(\sqrt{m+1}+\sqrt{m}\right)}^{2n}\right\}=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\left(\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\right)}^{2n}=0[/tex] puisque [tex]\forall m \in \N^*,\,\sqrt{m+1}-\sqrt{m} < 1[/tex] car [tex]\left(\sqrt{m+1}+\sqrt m\right)^{-1} < 1[/tex].

Salut Freddy,
En fait, j'ai trouvé la limite de {x} qui vaut 1! car la partie entière est N-1 !
Merci beaucoup Freddy mon devoir est presque fini!
Valentin

freddy · 27-04-2010 14:12:16

Salut Valentin,

je crois que je vais finir par t'adorer, toi ...

Je te montre que la limite vaut 0, et toi, tu viens affirmer qu'elle vaut 1 ... Tu es tout simplement un GENIE (sans me faire bouillir !!!)

Bis bald

Valentin · 28-04-2010 14:17:49

salut Freddy,
c'est tout simple, il faut un encadrement pour mieux voir. En effet, on pose:
[tex]A={\left(\sqrt{m+1}+\sqrt{m}\right)}^{2n}\,et\,B={\left(\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\right)}^{2n}[/tex]
Et d'après les questions précédentes: A+B=N(entier naturel) 0<B<1
N-1<N-B<N soit N-1<A<N Et E(A)=N-1
d'où, {A}=1-B
Sa limite vaut donc 1
Valentin

freddy · 28-04-2010 18:21:47

Valentin, Valentin, Valentin, Valentin ...

hummm : si 0 < B < 1

alors 0 < 1 - B < 1 (car -1 < -B < 0 et 1-1 = 0 < 1 - B < 1 !!!) non ?

Qu'en penses tu ?

Donc la limite est bien nulle, non ?

Valentin · 29-04-2010 12:31:33

freddy a écrit :

Valentin, Valentin, Valentin, Valentin ...
hummm : si 0 < B < 1
alors 0 < 1 - B < 1 (car -1 < -B < 0 et 1-1 = 0 < 1 - B < 1 !!!) non ?
Qu'en penses tu ?
Donc la limite est bien nulle, non ?

Salut Freddy,
je ne comprends pas pourquoi tu as fait l'encadrement de 1-B? Mon raisonnement était le suivant:
Soit [tex]A={\left(\sqrt{m+1}+\sqrt{m}\right)}^{2n}\,et\,B={\left(\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\right)}^{2n}[/tex]
On cherche [tex]{\lim }_{n\rightarrow \infty }\left(\left\{A\right.\})[/tex]
On sait que [tex]A+B=\mathbb{N}[/tex], d'après les questions précédentes.
[tex]\left\{A\}.=A-E\left(A\right)[/tex]
[tex]On\,cherche\,E\left(A\right).\,On\,a\,A=N-B\,et\,on\,sait\,que\,0<B<1\,\Rightarrow N-1<N-B<N\,ou\,N-1<A<N\,[/tex]
D'où, on a : [tex]E\left(A\right)=N-1\,et\,\left\{A\}=A-E\left(A\right)=N-B-\left(N-1\right)=1-B[/tex]
et sachant que limB=0 Donc lim{A}=1
je n'étais pas précis dans mon post d'avant! est-ce que tu es d'accord avec mon raisonnement ou pas?
Valentin

Dernière modification par Valentin (29-04-2010 12:36:52)

freddy · 29-04-2010 22:47:06

Salut,

Valentin, tu as raison, j'ai fait une erreur ! Faut que j'arrête de fumer la moquette ...

Je reprends :

[tex]\lim _{n\to+\infty }\left\{{\left(\sqrt{m+1}+\sqrt{m}\right)}^{2n}\right\}=1-\lim _{n\rightarrow +\infty }{\left(\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\right)}^{2n}=1[/tex] puisque [tex]\forall m \in \N^*,\,\sqrt{m+1}-\sqrt{m} < 1[/tex] car [tex]\left(\sqrt{m+1}+\sqrt m\right)^{-1} < 1[/tex].

Voilà, j'ai corrigé.

Mille excuses.

Dernière modification par freddy (29-04-2010 22:58:42)

freddy · 01-05-2010 22:31:01

Bonjour,

grâce aux efforts conjugués de quelques uns, voici un point d'étape sur les pbs posés par Valentin.

RECUEIL DE PROBLEMES
Nous nous intéressons à plusieurs conséquences et généralisations de la formule trigonométrique suivante :
[tex]\forall n \in \N,\;\cos (n+1)x+\cos (n-1)x=2 \cos x \cos nx[/tex] (Eq)
PARTIE 1
1) Prouver Eq.
OK, formule classique d'addition de cosinus
2) En utilisant la formule [tex]\cos\theta=\frac12 \left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)[/tex] déduire de 1) que :
[tex]\forall n \in \N^*,\;\forall z \in \C[/tex] tel que [tex]\left|z\right|=1,\;z^n+z^{-n}=P_n(z+z^{-1})[/tex]
où [tex]P_n[/tex] est un polynôme de degré n à coefficients dans Z. Déterminer [tex]P_1,\; P_2\; et\; P_3[/tex].
3) Montrer que le résultat ci-dessus reste vrai pour tout nombre complexe non nul.
4) On admet que [tex]\sqrt3[/tex] est irrationnel. Déduire de 3) que pour tout nombre entier n non nul, le nombre
[tex]\sqrt[n]{\sqrt3+\sqrt2}+\sqrt[n]{\sqrt3-\sqrt2}[/tex] est aussi irrationnel.

PARTIE 2
5) Soient m et n deux nombres entiers différents de 0. Montrer que :
[tex]\left(\sqrt{m+1}+\sqrt{m}\right)^{2n}+\left(\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\right)^{2n} \in \N[/tex]
OK
Est il vrai que [tex]\sqrt{m+1}-\sqrt{m} < 1[/tex] ?
Oui
6) On note [tex]\{x\}=x -[x][/tex] la partie fractionnaire d'un réel quelconque, différence entre lui même et sa partie entière.
(Par exemple, [tex]\left\{\frac52\right\}=\frac12[/tex])
En utilisant le résultat de 5), calculer [tex]\lim_{n \to \infty} \{\left(\sqrt{m+1}+\sqrt{m}\right)^{2n}\}[/tex] avec m nombre entier non nul.
1
7) Montrer que si [tex]\theta[/tex] est tel que [tex]\cos\theta+\sin\theta \in \Q[/tex], alors [tex]\cos^n\theta+\sin^n\theta\in \Q[/tex].
OK
PARTIE 3
Les problèmes suivants ne sont pas directement liés aux parties 1 et 2.
8) Montrer que pour chaque entier n impair
[tex]x^n - x^{-n} =Q(x-x^{-1})[/tex] où Q est un polynôme.
9 ) Soit [tex](a_n),\; n \geq 1[/tex] une suite strictement positive.
Montrer que s'il existe une suite [tex](b_n)[/tex], strictement positive, et une constante C > 0 vérifiant :
[tex]\frac{a_nb_n}{a_{n+1}}-b_{n+1} \geq C,\;\forall n \in \N^*[/tex], alors [tex]\sum_{n=1}^{+ \infty} a_n < +\infty[/tex].
OK
10)Soit [tex](a_n),\; n \geq 1[/tex] une suite strictement positive.
Montrer que s'il existe une suite [tex](c_n)[/tex] strictement positive telle que [tex]\sum_{n=1}^{+\infty} c_n^{-1} =+\infty[/tex], vérifiant :
[tex]\frac{c_na_n}{a_{n+1}} - c_{n+1} \leq 0,\; \forall n \in \N^*[/tex], alors [tex]\sum_{n=1}^{+\infty} a_n=+\infty[/tex]
OK

To be continued ...

Dernière modification par freddy (02-05-2010 14:03:57)

thadrien · 02-05-2010 08:20:33

@freddy : tu as vu la démo que j'ai posté hier ? tu en penses quoi ?

freddy · 02-05-2010 14:03:29

Salut thadrien : nickel chrome! C'est pourquoi j'ai écrit ci dessus que le point 7 était établi.

Bravo ! C'est Valentin qui va être content !

Bb

Dernière modification par freddy (02-05-2010 14:59:40)

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#1 29-03-2010 13:52:39

Curiosités pédagogiques ?!?

#2 20-04-2010 14:53:09

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