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#1 15-02-2010 18:18:32
- mathieu64
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dual
Bonsoir,
J'ai des difficultés à comprendre certaine chose sur les bases dual. Soient B et B' des bases de E espace vectoriel de dimension finie et P la matrice de passage de B à B'. Alors la matrice de passage de B* (la base dual de B) à B'* est la transposée de l'inverse de P. Le problème est que je n'arrive pas à voir à quoi on applique cette matrice de passage. Comment on écrit les vecteurs ei*.
Merci d'avance.
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#2 15-02-2010 19:16:26
- mathieu64
- Membre
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Re : dual
En fait mon problème est plus dans l'interpretation du résultat par exemple si on se place dans [tex] \R^3
[/tex] On choisie la base B comme la base canonique puis B' :
1 1 1
0 1 0
0 1 1
alors si je ne me suis pas trompé la matrice de passage de B* à B'* est [tex]
\[
\left (
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 &-1 \\
-1 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right )
\]
[/tex]
Est ce que quelqun peut me donner un exemple de passage de B* à B*' avec cette matrice de passage parce que je prend des vecteurs au hasard mais je ne comprend pas le résultat quand je le fais passer dans la matrice.
Merci.
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#3 15-02-2010 21:10:39
- Fred
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Re : dual
'soir,
Je ne comprends pas bien ta question. Si [tex](e_1,e_2,e_3)[/tex] est la base de départ, et [tex](f_1,f_2,f_3)[/tex] la base d'arrivée, ta matrice te dit que
[tex]f_1^*=e_1^*-e_3^*,\ f_2^*=e_2^*,\ f_3^*=-e_2^*+e_3^*[/tex]
Tu peux le vérifier en regardant ce que vaut [tex]f_1^*(f_1),\ f_1^*(f_2),\ f_1^*(f_3)[/tex] et ainsi de suite...
Si ce n'est pas cela que tu veux, essaie d'être plus clair dans ta demande.
Fred.
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#5 15-02-2010 21:30:23
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 349
Re : dual
Tu as [tex]f_1^*=e_1^*-e_3^*[/tex] et [tex]f_1=e_1[/tex]
On a donc
[tex]f_1^*(f_1)=e_1^*(e_1)-e_3^*(e_1)=1-0=1[/tex]
Ce qui peut sembler étonnant dans cet exemple, c'est que [tex]e_1=f_1[/tex],
et que pourtant [tex]f_1^*\neq e_1^*[/tex]
La raison est que [tex]f_1^*[/tex] dépend de tous les vecteurs de la base [tex](f_1,f_2,f_3)[/tex]
Fred.
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#7 15-02-2010 21:39:50
- Fred
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- Messages : 7 349
Re : dual
La forme linéaire [tex]f_1^*[/tex] est défini comme la (seule) forme linéaire qui vérifie
[tex]f_1^*(f_1)=1[/tex] et [tex]f_1^*(f_2)=f_1^*(f_3)=0[/tex].
Cela définit complètement la forme linéaire, puisque [tex](f_1,f_2,f_3)[/tex] est une base et que tout
vecteur peut s'écrire de façon unique comme combinaison linéaire de ces vecteurs.
L'utilisation de la matrice de passage n'est qu'un moyen technique de les représenter en fonction des formes linéaires [tex]e_i^*[/tex], c'est-à-dire en fonction des formes linéaires "coordonnées dans la base canonique".
Fred.
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