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Estelle

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Critère de divisibilité par 7 [Résolu]

bonjour

n = cdu est un nombre de 3 chiffres

si c * 10 + d - 2 * u est divisible par 7 alors le nombre n est divisible par 7

1) en utilisant ce critere preciser si les nombres suivants sont divisibles par 7 :

A = 553
B = 423
C = 315
D = 648

j'ai fait ca :

A = 553 
5 *10 + 5 - 2 * 3 = 50 + 5 - 6 = 49
49 est divisible par 7 donc 553 est divisible par 7

B = 423
4 * 10 + 2 - 2 * 3 = 40 + 2 - 6 = 36
36 n'est pas divisible par 7 alors 423 n'est pas divisible par 7

C = 315
3 * 10 + 1 - 2 *5 = 30 + 1 - 10 = 21
21 est divisible par 7 donc 315 est divisible par 7

D = 648
6 * 10 + 4 - 2 * 8 = 60 + 4 - 16 = 48
48 n'est pas divisible par 7 alors 648 n'est pas divisible par 7

2) démontrer ce critere de divisibilité par 7 pour un nombre cdu de trois chiffres

mais la j'ai pas vraiment compris ce qu'il fallait faire

freddy

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Re : Critère de divisibilité par 7 [Résolu]

Salut,

ce qu'il faut montrer est pourquoi cette règle fonctionne bien, comme tu as pu le constater à travers les exemples ci dessus.

De la même manière que l'on sait que si un  nombre termine par 0 ou 5, il est divisible par 5, et s'il se termine par 0, 2, 4, 6, 8, il est divisible par 2.

yoshi

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Re : Critère de divisibilité par 7 [Résolu]

Bonsoir,

Pfffioouu... Ca, c'est pas de la tarte, je me demande qui, parmi tes petits camarades de 3e (car tu es bien en 3e, n'est-ce pas ? Ôte-moi d'un doute !) aura réussi à faire ça tout seul...
Bien, passons aux choses sérieuses

Que veut dire la question ? Simplement que tu dois prouver que si 10c + d -2u est multiple de 7, alors le nombre cdu est un multiple 7 et ne l'est pas dans le cas contraire. Tu as d'abord vérifié que c'était vrai sur quelques exemple, maintenant, tu dois prouver que c'est toujours vrai.

1. Tu dois comprendre que tout nombre qui s'écrit 7n, avec n entier naturel, est multiple de 7... ok ? Ca, c'est facile...

2. x étant un entier naturel quelconque, pour que la somme 7n + x soit un multiple de 7, il faut que x soit aussi un multiple de 7. Si x est un multiple de 7, il existe un entier naturel m tel que x = 7m, et la somme s'écrit :
7m + 7 n = 7(m+n) qui est bien un multiple de 7. C'est ça que je vais utiliser.
Je vais tenter de montrer que cdu est un nombre qui se décompose comme la somme d'un multiple 7 et d'un autre nombre, multiple de 10c+d-2u

3. a) Je fais apparaître 10c+d-2u dans cdu.
        c  est le chiffre des centaines, d celui des dizaines et u celui des unités : cdu = 100c + 10 d + u.
        374 = 100*3 + 10*7 + 4. D'accord ?
        Je remarque que si j'écris cdu = 100c+10d + u = 10(10c+d)+u, alors 10c + d est le début de 10c+d-2u !
        Pour pouvoir mettre -2u dans la parenthèse (c'est à dire avoir là aussi 10 comme facteur commun), il me faudrait -20u à la place de +u, donc :
        on remplace u par 21u-20u...
        cdu = 100c+10d + u = 100c+10u-20u+21u = 10(10c+d-2u)+21u
   b) On conclut
       cdu se décompose comme une somme de 2 nombres :
       * 21u qui est toujours un multiple de 7
       * 10(10c+d-2u)
      Ainsi que je l'ai dit au début,, pour que cdu soit un multiple de 7, puisque 21u est toujours multiple de 7, alors il faut que le 2e terme de la somme, c'est à dire 10(10c+d-2u) soit aussi un multiple de 7.
     Comme 10 n'est pas multiple de 7, il faut que 10c+d-2u soit un multiple de 7
Lorsque c'est le cas, donc, cdu qui s'écrit en une somme de 2 multiples de 7, est lui-même un multiple de 7.

Voilà... As-tu compris ? Sinon, questionne jusqu'à être capable de refaire toute seule...
J'ai été obligé de faire le travail, moi, parce que je ne voyais pas bien comment j'aurais pu te guider jusqu'à la solution en moins de 3 à 4 jours...
Bien sûr, si je t'avais eu en face de moi, c'était faisable : il aurait fallu une bonne heure quand même..

@

PS
freddy,

démontrer ce critère de divisibilité par 7 pour un nombre cdu de trois chiffres

C'est pourquoi, je ne vois pas de solution que de procéder d'une manière analogue à la démonstration de la divisibilité par 3 et 9, voire 11...
As-tu une autre idée (plus simple) ?

freddy

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Re : Critère de divisibilité par 7 [Résolu]

Salut yoshi,

chapeau, pas mieux !

J'avais la même idée de départ (critère par 3, 9 ou 11), en suis arrivé à n=cdu divisible par 7 si (2c+3d+u) l'est aussi et me suis endormi sur la suite ... qui ne donne pas grand-chose !

Estelle

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Re : Critère de divisibilité par 7 [Résolu]

bonjour

2) le nombre de 3 chiffres qui s'écrit cdu est égal a 100c + 10d + u

ex : 421 = 4 * 100 + 2 * 10 + 1

100c + 10d + u = 10(10c + d - 2u) + 21u

21u est divisible par 7 alors 10(10c + d - 2u) sera divisible par 7 et 10(10c + d - 2u) + 21 le sera aussi

voila ce que j'ai fait

yoshi

Modo Ferox

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Re : Critère de divisibilité par 7 [Résolu]

Bonjour,

21u est divisible par 7 alors 10(10c + d - 2u) sera divisible par 7 et 10(10c + d - 2u) + 21 le sera aussi

Il te détailler cela un peu plus (un minimum d'explications).
Donc :
* On remplace u par -20u+21u :
* 100c + 10d + u = 100c + 10d -20u + 21u
* 100c + 10d + u = 10(10c + d - 2u) + 21u
* 21u = 7*3u est toujours un multiple de 7
* Pour que la somme 10(10c+d-2u) + 21u soit un multiple de 7, puisque 21u est toujours un multiple de 7, alors 10c+d-2u doit aussi être un multiple de 7.
* Conclusion : si 10c+d-2u est un multiple de 7 alors le nombre cdu est un multiple de 7.

Sinon, tu m'as l'air d'avoir compris ce que je t'ai expliqué, et capable de réexpliquer ça à tes camarades au tableau... ;-)
Si oui, c'est bien...

@+