Forum de mathématiques - Bibm@th.net

gatha 13

Invité

il giro [Résolu]

Bonjour à tous. restons en selle.
Nérosson et Gatha font du vélo. Nérosson est un alpin confirmé, rompu aux arrivées d'étapes, il défie Gatha sur une piste circulaire.
Nérosson évolue à 30 km/h, suivi péniblement par Gatha qui lui, âge oblige, plafonne à 20 km/h. Ces vitesses sont constantes, sans ralentissement ni accéleration du début à la fin.
Forcément, Nérosson finit par lui prendre un tour.
Une seule question: Quelle est la longueur de la boucle ?
Merci

nerosson

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Re : il giro [Résolu]

Salut, Gatha,
Pour ce qui est "l'âge oblige", tu repasseras....
Du vélo (d'appartement), j'en fais tous les matins, mais le compteur se situe entre 15 et 20.
Tu es bien sûr que tu n'oublies rien dans ton problème ?
Parce que, si je te prends un tour en une heure, la boucle fait 10 kms, et si je te prends un tour en deux heures, la boucle fait 20 kms.
C'est ce qu'il me semble. Il y a une astuce ?

freddy

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Re : il giro [Résolu]

Salut,

tout dépend aussi si vous tournez dans le même sens ! ...

nerosson

Membre actif

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Re : il giro [Résolu]

Mon bon Freddy,
Tu pourrais pas être sérieux ?

gatha de La Ciotat

Invité

Re : il giro [Résolu]

Bonne soirée à tous. Méa Culpa, effectivement, en baissant ma casquette, j'ai oublié de préciser :Au premier dépassement. Mais j'entends Yoshi qui va me sortir la même avec une vitesse angulaire, ou avec accélération.
Bon, Je passe de 0 à 20km/h en 10 secondes. Ce qui me paraît vraisemblable. Ca ne devrait pas changer grand chose.
Bonne nuit.

yoshi

Modo Ferox

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Re : il giro [Résolu]

Re,

Mais j'entends Yoshi qui va me sortir la même avec une vitesse angulaire, ou avec accélération.

Mazette ! Quel humour... C'est vrai que j'ai l'habitude d'écrire n'importe quoi, c'est bien connu...
Alors autant en remettre une couche : je n'ai jamais vu de piste circulaire (je ne demande qu'à m'instruire...), même les vélodromes ont une petite ligne de droite de chaque côté... Alors la vitesse angulaire, hein, tu peux la remettre dans ta musette (avec le sausse , la baguette de pain et le kil de rouge : au tegard de la loi antidopage, tu ne risques d'ailleurs rien...)

Bon, cela dit, ça ne répond pas à la question -très pertinente- du sieur Nerosson...
Ton accélération, au demeurant calculable (en m/s², parce que m/s^{-2} je trouve cela inavalable... Je rejoins nerosson : là ça fait savant !).
Tant que tu n'auras dit en combien de temps tu boucles, un tour de piste ou combien de temps (ou quelle distance) de handicap avait nerosson avant de te rattraper, réponse impossible.

@+

gatha de La Ciotat

Invité

Re : il giro [Résolu]

Bonjour à tous,
Yoshi n'a jamais vu de piste circulaire, moi non plus, ceci étant, cela ne constitue en rien une impossibilité.
Si je connais la vitesse constante de chaque concurrent, ai-je besoin de savoir le temps nécessaire pour que
le concurrent A Parcoure le double de la distance du concurrent B?
Sachant que B roule à 30 km/h et A à 20 km/h, il va y avoir un moment où B aura parcouru le double de la distance de A. Il me reste à mettre cette distance en boucle. Je ne perçois pas l'imbécillité de ce raisonnement,
mais je me trompe probablement. Bonne journée à tous.

yoshi

Modo Ferox

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Re : il giro [Résolu]

Bonjour,

Yoshi n'a jamais vu de piste circulaire, moi non plus, ceci étant, cela ne constitue en rien une impossibilité.

Puisque tu disais que je pourrais bien parler de vitesse angulaire et comme ici tu parles de vitesse linéaire constante, alors si ! Même à vitesse linéaire constante, ta vitesse angulaire ne le sera pas sur un circuit non circulaire, par la variation de la distance du mobile au centre du circuit.
Mais passons...

Il n'y a pas d'imbécillité dans la question, seulement une incompréhension.

Au risque de m'attirer les foudres du sieur nerosson, je vais faire un peu d'Algèbre : tu as inconnues, la longueur de la piste, et le temps cherché, lesquelles s'expriment l'une en fonction de l'autre, ce qui me donne une indétermination (nersosson te l'a déjà dit, autrement. Peut-être cela percutera-t-il davantage ?).
Juges-en plutôt.
Soit l la longueur de la piste en m
La vitesse de nerosson en m/s est 30000/3600 = 25/3 m/s
La vitesse de gatha est 20000/3600 = 50/9 m/s
Vous partez en même temps, en foi de quoi au moment où nerosson te prend un tour, vous roulez depuis le même temps t...
Et là tu me coupes : quel temps ?
Réponse : ça dépend de la distance parcourue, d = v * t n'est-ce pas ?

Je reprends.
Donc quand nerosson te dépasse il a parcouru une distance l de plus que toi :
[tex]distance_{nerosson}-distance_{gatha} = l[/tex]
Soit :
[tex]{25 \over 3}t - {50\over 9}t=l[/tex]
Soit encore :
[tex]{75 - 50 \over 9}t =l[/tex]
Et enfin, on obtient :
[tex]longueur_{boucle}={25t\over 9}[/tex]

Donc maintenant quelques résultats :
Si nerosson met 90 s pour te prendre un tour, le circuit mesure 25*90/9 = 250 m
Si nerosson met 144 s pour te prendre un tour, le circuit mesure 25*144/9 = 25 * 16 = 400 m
Si nerosson met 270 s pour te prendre un tour, le circuit mesure 25*270/9 = 25 * 16 = 750 m

Et tu peux le faire dans l'autre sens : combien de temps faut-il à nerosson pour te " prendre" un tour ?
[tex]t = {9l \over 25}[/tex], temps en s distance en m.
Si le circuit mesure 400 m, nerosson te "prend" un tour en 9*400/25 = 144 s = 2 min 24 s
Si le circuit mesure 500 m, nerosson te "prend" un tour en 9*500/25 = 180 s = 3 min
Si le circuit mesure 650 m, nerosson te "prend" un tour en 9*650/25 = 234 s = 3 min 54 s

On est d'accord maintenant ?

Forcément, Nérosson finit par lui prendre un tour.
Une seule question: Quelle est la longueur de la boucle ?

il va y avoir un moment où B aura parcouru le double de la distance de A.

Ce n'est pas la même question !
Comme à l'école : << M'sieu ! M'sieu ! Il triche ! >>...
Bin, non ! Impossible...

Sans Algèbre (nerosson va se faire un plaisir de te justifier ça) :
temps en h   1    3        5         7       9       11    13     15      17     19       21       23      25    27      29     31
d_gatha      20    60    100    140    180    220    260    300    340    380    420    460    500    540    580    620
d_nerosson 30    90    150    210    270    330    390    450    510    570    630    690    750    810    870    930

temps en h   33       35       37        39        41      43        45       47       49        51      53        55         57
d_gatha      660     700     740      780      820      860     900       940    980     1020    1060     1100   1140
d_nerosson 990    1050    1110    1170    1230    1290    1350    1410    1470    1530    1590    1650    1710

Avec algèbre
Soit t le temps cherché en h
Distance parcourue par gatha      : 20t
Distance parcourue par nerosson : 30t
Quel est le temps t nécessaire pour que 30 t = 2 * 20t, autrement dit pour que 30t = 40 t.
Si t <>0 cette égalité est équivalente à celle-ci : 30 = 40
Conclusion ?

@+

gatha 13

Invité

Re : il giro [Résolu]

Bonjour à tous.
Très chers confrères, j'en suis au même point que Yoshi, avec la même démarche empirique, qui ne me satisfait qu'à moitié. Je continue à chercher.

gatha de La Ciotat

Invité

Re : il giro [Résolu]

bonjour à tous et merci à Yoshi.
Cette question, à laquelle je n'ai pas répondu, me dépite un peu.
Je la réduit donc à la suivante :
Si un mobile A se déplace à la vitesse de 20 km/h, tandis qu'un mobile B est animé d'une vitesse de 30 km/h
, le tout sur une distance linéaire, avec un départ simultané, alors quelle est la distance nécessaire pour que B
ait accompli le double de la distance de A. ( et le temps.)
En fait, j'ai fait la correspondance avec une pendule murale. La grande aiguille met le même temps pour doubler la petite que sur une montre bracelet. Donc mon raisonnement était erroné quelque part, sans que je comprenne où.
Merci et bonne journée.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : il giro [Résolu]

Salut gatha,

Je crains que ta mine ne s'allonge un peu plus...

Si un mobile A se déplace à la vitesse de 20 km/h, tandis qu'un mobile B est animé d'une vitesse de 30 km/h, le tout sur une distance linéaire, avec un départ simultané, alors quelle est la distance nécessaire pour que B
ait accompli le double de la distance de A  (et le temps).

JAMAIS !
J'en demande pardon à nersosson, mais c'est tellement plus évident avec l'algèbre...
soit x le temps cherché (en h).
Distance parcourue d1 à 20 km/h en x heures : 20x
Distance parcourue d2 à 30 km/h en x heures : 30x
Problématique : tu cherches x pour que d2 = 2d1
Réponse x est tel que :
30x = 2*20x = 40x
Tu vois bien que 30x = 40x pour x = 0.
Mais ça n'a pas grand sens, car au départ d1 = 0 et d2 = 0 et 0 = 2 * 0, mais aussi 3 * 0, 4 * 0...

En fait, j'ai fait la correspondance avec une pendule murale. La grande aiguille met le même temps pour doubler la petite que sur une montre bracelet.

Encore heureux, ça veut tout simplement dire que les vitesses angulaires (ou vitesses de rotation) sont les mêmes.

Ca ne marche que si vitesse de l'un = 2 x vitesse de l'autre...
Que ce soit une vitesse linéaire, ou une vitesse angulaire, après calcul la distance parcourue est toujours proportionnelle à ladite vitesse...
Tu peux trouver une distancet double si la vitesse est double, triple si la vitesse est triple...
gatha 20 km/h

        \Temps  0    1   2   3  
         \ |
Distance G |    0   20   40  60  
distance N |    0   40   80  120

Imaginons que grande et petite aiguille aient la même taille mais de couleurs différentes (resp. rouge et verte) avec les mêmes vitesses angulaires soit l'une = 12 x l'autre.
Et que tu mettes en route à 12 h pile.
A chaque instant t après 12 h, la pointe de l'aiguille rouge aura parcouru une distance=  12 x l'autre...
Que ce sdoiyt pour t = 1 s, 1 min, 1 h, 12 h...

Mais que la grande aiguille double la petite (i.e lui "prenne" un tour), ou que nerosson double gatha sur une piste, ce n'est pas du tout la même problématique...
Soit une piste circulaire de 500 m de circonférence. En combien de temps à 30 km/h N doublera-t-il G à 20 km/h ?
Soit x le temps en h...
d(N) = 30x
d(G)= 20x
La problématique est 30x = 20x + 0,5, soit 10x = 0,5 et x = 0,05 h = 60 * 0,05 = 3 min...
Et à cet instant d(N) = 20 * 0,05 = 1 km et d(N) = 30 *0,05 = 1,5 km...

@+

Il faut 1 h 5 min 27 s à une poussière près pour que la grande aiguille prenne un tour à la petite....
Voir :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=2835
Mais aussi :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=2832
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1999
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=2838

gatha 13

Invité

Re : il giro [Résolu]

Bonjour à tous. Merci Yoshi, pour une réponse que je trouve claire, précise et convaincante.
Je range ce problème dans la catégorie bizarreries diverses.
A bientôt, humblement.