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Michsisi

Invité

Aide devoir sur les nombres entiers et dénombrements

Bonjour,

j'ai quelques difficultés pour terminer un exercice sur des dénombrements.

Soit n un entier naturel non nul. On veut former des mots avec un alphabet de n caractères sasn q'un mot contienne 2 fois la même lettre. On note Mn le nombre total de ces mots. Le but de l'exercice est de montrer que: Mn=[e.n!] - ([x] partie entière de x)

1°) On note Mn,p le nombre de mots à p lettres ne contenant pas 2 fois la même lettre. Calculer Mn,p

On a n choix pour la 1ère lettre, puis n-1, ... jusqu'à n-p+1
J'ai abouti au résultat    [tex]\frac{n!}{\left(n-p\right)!}[/tex]

2°)En déduire que  [tex]{M}_{n}=n!\sum^{n}_{p=0}\frac{1}{p!}-1[/tex]
Je ne vois pas comment y aboutir.

3°) Démontrer le résultat demandé.
Je ne vois vraiment pas comment passer du 2°) au 3°).

Merci d'avance à celui qui arriverait à m'aider.

Fred

Administrateur

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Messages : 7 349

Re : Aide devoir sur les nombres entiers et dénombrements

Bonjour,

  Il faut partir de la formule
[tex]e=\sum_{p\geq 0}\frac{1}{p!}[/tex]
On en déduit que
[tex]n! e=n!\sum_{p\geq 0}\frac{1}{p!}+n!\sum_{p=n+1}^{+\infty}\frac{1}{p!}[/tex]
Pour prouver l'égalité, il suffit de démontrer que le terme à droite du signe + est compris entre 0 et 1
(dans ce cas, [e n!] sera égal à la première somme).

Pour cela, on peut écrire que
[tex]n!\sum_{p=n+1}^{+\infty}\frac{1}{p!}=1/(n+1)+1/((n+1)(n+2))+....[/tex]
Comme [tex]n\geq 1[/tex], on a [tex]1/(n+1)\leq 1/2[/tex], [tex]1/((n+1)(n+2))< 1/2^2[/tex] etc...
et donc la somme recherchée est inférieure (stricte) à la somme géométrique
[tex]1/2+1/4+1/8+...=1[/tex]

Fred.