Forum de mathématiques - Bibm@th.net

quillet

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Lieu géométrique d'un point [Résolu]

soit un angle xoy fixe
soit un point P fixe
soit une droite variable qui passe par P coupe ox enA et oy en B
La droite symétrique de la droite PA par rapport à ox et la droite symétrique de PB par rapport à oy se coupent en un point P'.

Quel est le lieu de P'.

bonjour ,

j'ai quelques difficultés àdéterminer le lieu de ce poit;
Je pense que tout d'abord il serait utile de calculer l'angle xoy en fonction de l'angle AP'B mais je me demande si je dois partir la dessus car je ne parviens pas à déterminer ces angles.
Je pense que le poit o a un role très important dans la détermination du lieu de P';
cependant malgrès plusieurs dessins effectués je tourne en rond j'aurais besoin d'un coup de pouce;
merci à celui qui me mettra sur la bonne voie.

yoshi

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Re : Lieu géométrique d'un point [Résolu]

Salut,

Il y a des points particuliers dans ton dessin :
* Le point P
* Le point O
* Le projeté orthogonal H de P sur [Ox
* Le projeté orthogonal H de P sur [Oy

Et par conséquent trois droites particulières :
* la droite(PH)
* la droite (PK)
* la la droite(PO)
qui sont invariantes quelle que soit le position de A et B.
Si A ou B sont en O, alors le point P' est aussi en O.
Si B est sur K, alors P' se trouve à l'intersection de (PK) et [Ox encore un point fixe
Si A est sur H, alors P' se trouve à l'intersection de (PH) et [Oy, encore un point fixe
Conclusion ?

Je te laisse le soin de prouver ces affirmations...

@+

yoshi

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Re : Lieu géométrique d'un point [Résolu]

Re,

Un petit codicille (remords de conscience) : ton lieu géométrique est un cercle !

@+

quillet

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Re : Lieu géométrique d'un point [Résolu]

ok pour le lieu géométrique disons que P' est sur un cercle capable mais je dois le démontrer
par contre dans ta première réponse tu me parles de projection orthogonale!!!
j'ai du mal à comprendre ce que ca vient faire dans cet exo
je suis d'accors qu'il yest une symétrie puisque c'est une hypothèse , le symétrique de P par rapport ox estP' ?
je n'en suis plus sur!

yoshi

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Re : Lieu géométrique d'un point [Résolu]

Re,

J'ai fait le dessin avec le logiciel GeoLabo disponible sur BibM@th, et j'ai demandé d'activer la trace de P', puis j'ai construit le cerclez : ça colle...
Donc je reprends.
Il y a 3 positions particulières dont il faut tenir compte :
* Lorsque A ou B sont en O, alors P' est aussi en O, Dans ce cas P' = O,
* Lorsque (PA) est perpendiculaire à [Ox : j'ai appelé H l'intersection avec [Ox (donc le projeté orthogonal) et G l'intersection avec [Oy : dans ce cas P'=G,
* Lorsque (PA) est perpendiculaire à [Oy : j'ai appelé K l'intersection avec [Oy (donc le projeté orthogonal) et F l'intersection avec [Oy : dans ce cas P'=F,

Le centre M du cercle est l'intersection des médiatrices de [OG] et [OF].
En bleu : la trace de P' laissée par GeoLabo
En rouge, le cercle de centre M et de rayon MO = MG= MF
En bleu clair, les 2 symétriques de (AB) par rapport à [Ox et [Oy

C'est plus clair maintenant ?

@+

quillet

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Re : Lieu géométrique d'un point [Résolu]

salut,
oui c'est bien + clair et je t'en remercie mais il ya encore un truc qui me chagrine
je me demande s'il ya un rapport entre l'angle xoy et l'angle AP'B
puisqu'ils interceptent le meme arc de cercle

yoshi

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Re : Lieu géométrique d'un point [Résolu]

Re,

Non ils n'interceptent pas toujours le même arc de cercle.
Sur mon dessin, si j'appelle D l'intersection de (P'B) avec le cercle et E l'intersection de (P'A) avec ce même cercle,
L'angle AP'B intercepte l'arc ED, alors que l'angle xOy intercepte l'arc FG
Par contre, D et E sont les symétriques de P par rapport à [Oy et [Ox...

@+

Dernière modification par yoshi (17-01-2010 18:20:01)

quillet

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Re : Lieu géométrique d'un point [Résolu]

merci pour tous ces renseignements qui m'ont été très précieux
@+

yoshi

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Re : Lieu géométrique d'un point [Résolu]

Bonsoir,

On peut encore ajouter que 
* P est l'orthocentre du triangle OFG
* que le symétrique de l'orthocentre par rapport à l'un quelconque des côtés appartient au cercle circonscrit à ce triangle : il me semble bien qu'il y a 2 sujets Bibm@th qui traient de cette position et démonstration.
J'ai aussi en stock un problème niveau 3e/2nde (et sa démo) qui arrive à ce résultat...

Quelque chose me chiffonne quand même : O, F, G, D, E sont 5 positions particulières de P', toutes sur le fameux cercle...
Je ne suis pourtant pas sûr que ce soit suffisant pour dire que le lieu géométrique cherché EST ce cercle...
Ce soir, je n'ai plus envie de trop réfléchir (j'y ai passé un certain temps quand même) sans pouvoir trancher.
J'y repenserai demain.
Et si quelqu'un d'autre a un avis définitif sur la question, je serais très heureux qu'il veuille bien nous en faire part...
Merci d'avance.

@+