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hélène

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exercice sur les fonctions numériques [Résolu]

Bonjour,

j'ai vraiment besoin d'aide sur les fonctions numériques, mon exercice est le suivant :

on considère la fonction f : x à pour image racine carré de 4 - x² dont la représentation graphique sur [-2;+2]

On pose I = [-2;+2] et J = [0;+2] Que pensez-vous des propositions suivantes ?

f est une application de I vers J ?
f est une surjection de I sur J ?
f est une injection de I dans J ?
f est une bijection de I sur J ?

Si quelqu'un pouvait m'expliquer à quoi sert l'équation de départ et comment la résoudre, je pense que je pourrais avancer dans ma leçon.

Merci beaucoup par avance.

yoshi

Modo Ferox

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Re : exercice sur les fonctions numériques [Résolu]

Bonsoir,

Tout d'abord il n'y a pas ici d'équation mais une définition de fonction :
[tex]\begin{cases}f :I \rightarrow J \\ x \rightarrow f(x)=\sqrt{4 - x^2}[/tex]
Ta fonction est définie sur I =[-2\;;\;2] parce que la quantité sous le radical doit être positive ou nulle.
Et le polynôme 4-x² n'est positif ou nul qu'entre ses racines qui sont -2 et +2.
Cette fonction associe à tout élément x de I, une image dans J obtenue en prenant [tex]\sqrt{4-x^2}[/tex]
Ainsi donc l'image de 1 par cette fonction est [tex]f(1)=\sqrt{4-1^2},\;\text{soit encore }\sqrt 3[/tex]
Est-ce que c'est clair ?

Cette fonction est-elle une application ? Autrement dit tout x de de I a-t-il une image et une seule dans J ?
Existence : elle est prouvée par le domaine de défnition.
Unicité : Supposons qu'il existe a de I qui ait deux images b et c dans J : il est facile de prouver que b = c
On peut aussi dire que f une application comme étant la composée de plusieurs applications élémentaires de base...

Cette fonction est-elle injective ?
Définition : f est une application injective ou est une injection si deux éléments quelconques de I ayant même image par f sont nécessairement égaux.
Et comme elle ne l'est pas, il me suffit d'un contre-exemple.
Je prends le nombre suivant de J : [tex]\sqrt 2[/tex] et je cherche x tel que [tex]f(x)=\sqrt 3[/tex]Là j'ai bien une équation à résoudre :
[tex]\sqrt{4 - x^2}=\sqrt 3[/tex]
laquelle a 2 solutions 1 et - 1... Donc, nous ne sommes pas dans le cas de la définition.

Cette fonction est-elle surjective ?
Définition : f est une application surjective ou est une surjection si tout élément a de J possède au moins un antécédent par f.
Cherchons à résoudre :
[tex]\sqrt{4 - x^2}= a,\;\text{avec }a \in [0;\;\;2][/tex]
On en tire :
[tex]4 - x^2=a^2[/tex]
Soit :
[tex]x^2=4-a^2[/tex]
Et cette écriture a un sens parce que 4-a² est toujours >=0
La fonction est surjective

F n'est pas bijective parce qu'elle n'est pas à la fois injective et surjective.

S'il se trouvait que je ne sois pas assez clair, l'ami freddy ou tout autre lecteur compétent saurait bien préciser mon propos.

@+

Laurentsta

Invité

Re : exercice sur les fonctions numériques [Résolu]

Pour justifier que f est surjective de I vers J, il faut vérifer que tout élément de J a au moins un antécédent dans I.

Soit a dans [0 ; 2]. Comme le dit Yoshi avec x² = 4-a², il existe deux valeurs de x tel que f(x) = a :
x1 =f(a)  ou x2 = -f(a) .

Reste à prouver qu'un tel x est dans [-2 ; 2].

Or on a l'encadrement 0<= a <= 2.
La fonction carrée est croissante sur l'ensemble des nombres positifs, donc 0<= a² <= 4.
Ce qui entraîne ensuite -4<= -a² <= 0.
Puis 0<= 4-a² <= 4
Et enfin 0 <= f(a) <= 2, puisque la fonction racine est croissante sur l'ensemble des nombres positifs.

On en conclut que x1 =f(a)  et x2 = -f(a) appartiennent à  [-2 ; 2].

Ainsi, tout élément de I a au moins un antécédent dans I, donc f est une surjection de I vers J.

freddy

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Re : exercice sur les fonctions numériques [Résolu]

Salut yoshi,

c'est amusant, je m'étais dit que j'allais te laisser répondre quand j'ai vu le post  vers 17 h, pensant que tu allais être très pédagogique ! ...

Sinon, la fonction ne peut être bijective car elle n'est pas injective.

yoshi

Modo Ferox

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Re : exercice sur les fonctions numériques [Résolu]

Ave freddy,

Très drôle, je m'étais dit aussi quand je t'ai vu en ligne que tu allais répondre...
Mais, bernique !  :-)
Alors il a bien fallu que je m'y colle... non sans avoir préalablement vérifié les définitions de l'injection et la surjection : dame, ça faisait plus de trente ans que je n'avais pas "joué" avec ça.
Pour la bijection, no problem ; en plus de B = I + S, j'avais conçu un moyen mnémotechnique très romantique :
<< A chacun sa chacune et à chacune son chacun ! >>... ;-)
Me voilà rassuré, donc.
J'ai juste été un peu elliptique dans ma réponse sur la surjection pensant que soit notre amie, ln(3) (?), complèterait d'elle-même, soit reviendrait à la charge.
Je m'étais même dit que tu te ferais un plaisir de compléter si tu en éprouvais le besoin, mais apparemment, tu as été coiffé sur le poteau.

@+

PS
As-tu vu (et lu) le post de gaelp ?

freddy

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Re : exercice sur les fonctions numériques [Résolu]

Salut yoshi,

ouaip, pour gaelp, je suis d'accord avec toi. Mais qu'en pense Fred ?

"à chacun sa chacune et lycée de Versailles", j'aime bien (LN et les glaçons ?)

Bis bald